广东省中山一中2009-2010学年高二下学期期中考试文科数学试题

中山一中2009～2010学年第三次段考高二数学（文科）试题审核人：王君校对：陈亮第一卷一、选择题：（每题只有一个正确答案，每小题5分，共50分）1．下列命题中真命题的个数是（）（1）所有的素数是奇数；（2）11)1(,2xRx；（3）有的无理数的平方是无理数．A．0B．1C．2D．32．不等式104xx的解集是（）A．(1,4)B．(4,)C．(1,)D．(,1)(4,)3．已知等差数列{an}满足123100aaaa，则（）A．1100aaB．290aaC．380aaD．50a4．等比数列{}na的各项为正，公比24q，则3445aaaa的值为（）A．14B．2C．12D．125．已知数列na的前n项和21nSn，则()A．na=21nB．na=21nC．na=2(=1)21(1)nnnD．na=2(=1)21(1)nnn6．在ABC中，222acbab，则角C为（）A．60B．45或135C．120D．307．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（）A．甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件8．设变量x，y满足约束条件1133xyxyxy，则目标函数4zxy的最大值为（）A．4B．11C．12D．149．设椭圆22221(00)xymnmn，的右焦点与抛物线28yx的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A．2211216xyB．2211612xyC．2214864xyD．2216448xy10．在抛物线28yx中，以(1,1)为中点的弦的方程是（）A．430xyB．430xyC．430xyD．430xy二、填空题：（每小题5分，共20分）11．命题：“若0xy，则0x或0y”的逆否命题是．12．设Ryx,且111yx，则yx的最小值为．13．与双曲线116922yx有共同的渐近线，并且经过点)32,3(的双曲线方程为．14．如图，把椭圆2212516xy的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,PPPPPPP七个点，F是椭圆的一个焦点，则1234567PFPFPFPFPFPFPF.第二卷三、解答题：（共80分）15．（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2a，3c，1cos4B．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sinC的值．16．（本小题满分14分）设1F、2F分别为椭圆C：12222byax（0ba）的左、右两个焦点．（Ⅰ）若椭圆C上的点)23,1(A到1F、2F两点的距离之和等于4，求出椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，求线段1PF的中点M的轨迹方程．17．（本小题满分14分）设nS等比数列na的前n项和，且2214,99aS（Ⅰ）求数列na的通项；（Ⅱ）设nnnba，求数列nb的前n项和nS．18．（本小题满分14分）已知顶点在原点O，准线方程是1y的抛物线与过点(0,1)M的直线l交于A，B两点，若直线OA和直线OB的斜率之和为1（Ⅰ）求此抛物线的标准方程；（Ⅱ）求直线l的方程；（Ⅲ）求直线l与抛物线相交弦AB的弦长。19．（本小题满分12分）围建一个面积为2360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45/m元,新墙的造价为180/m元,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。（Ⅰ）写出总费用y与x的函数关系式，（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。20．（本小题满分12分）已知ABC△的顶点A，B在椭圆2234xy上，C在直线2lyx：上，且//ABl．（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC△的面积；（Ⅱ）当90ABC，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．中山一中2009～2010学年第三次段考高二数学（文科）试题（参考答案）一、选择题：（每题只有一个正确答案，每小题5分，共50分）题号12345678910答案CDCDCABBBC二、填空题：（每小题5分，共20分）11．若0x且0y，则0xy；12．4；13．144922yx；14．35．三、解答题：（共80分）15．（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2a，3c，1cos4B．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求sinC的值．解：（Ⅰ）由余弦定理，2222cosbacacB，3分得222123223104b，5分10b．7分（Ⅱ）方法1：由余弦定理，得222cos2abcCab41091082210，10分∵C是ABC的内角，11分∴236sin1cos8CC．14分方法2：∵1cos4B，且B是ABC的内角，∴215sin1cos4BB．根据正弦定理，sinsinbcBC，得153sin364sin810cBCb．16．（本小题满分14分）设1F、2F分别为椭圆C：12222byax（0ba）的左、右两个焦点．（Ⅰ）若椭圆C上的点)23,1(A到1F、2F两点的距离之和等于4，求出椭圆C的方程和焦点坐标；（Ⅱ）设P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，求线段1PF的中点M的轨迹方程．解：（Ⅰ）由椭圆上的点)23,1(A到两焦点1F、2F两点的距离之和等于4，知242aa，2分又点)23,1(A在椭圆12222byax上，因此31)23(2122222bb，4分于是12c，5分所以，所求椭圆方程为13422yx，焦点坐标为1F)0,1(和2F)0,1(；7分（Ⅱ）设中点),(yxM，并设动点),(00yxP，则202100yyxxyyxx2120010分又因为点),(00yxP在椭圆13422yx上，于是1342020yx，即13)2(4)12(22yx，化简得134)21(22yx，所以，所求轨迹方程为134)21(22yx．14分17．（本小题满分14分）设nS等比数列na的前n项和，且2214,99aS（Ⅰ）求数列na的通项；（Ⅱ）设nnnba，求数列nb的前n项和nS．解：（Ⅰ）设首项为1a，公比为q，由2214,99aS得111111934193aqaaaqq13nna．6分（Ⅱ）nnnba，3nnbn．8分23323333nnSn…，③23413323333nnSn…．④④-③得12323(3333)nnnSn…．即13(13)2313nnnSn，10分1(21)3344nnnS．14分18．（本小题满分14分）已知顶点在原点O，准线方程是1y的抛物线与过点(0,1)M的直线l交于A，B两点，若直线OA和直线OB的斜率之和为1（Ⅰ）求此抛物线的标准方程；（Ⅱ）求直线l的方程；（Ⅲ）求直线l与抛物线相交弦AB的弦长。解：（Ⅰ）由题意可知抛物线焦点在y轴正半轴，设抛物线的标准方程为22xpy由准线方程是1y，可得2p所以抛物线的标准方程为24xy4分（Ⅱ）设直线l的方程为：1ykx，代人抛物线的标准方程消y整理得2440xkx设11(,)Axy，22(,)Bxy，则12121yyxx①因为111ykx，221ykx，代人①，得12112()1kxx②因为124xxk，124xx，代人②得1k所以直线l的方程为：1yx9分（Ⅲ）将直线方程与抛物线的标准方程联立得：214yxxy消y整理得2440xx因为124xx，124xx22212121211()48ABkxxkxxxx14分19．（本小题满分12分）围建一个面积为2360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45/m元,新墙的造价为180/m元,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。（Ⅰ）写出总费用y与x的函数关系式，（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am则45180(2)1802225360360yxxaxa2分由已知360ax,得360ax,所以2360225360(0)yxxx6分(II)223600,225222536010800xxx8分104403603602252xxy.当且仅当2360225xx时，等号成立.10分即当24xm时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.12分20．（本小题满分12分）已知ABC△的顶点A，B在椭圆2234xy上，C在直线2lyx：上，且//ABl．（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及ABC△的面积；（Ⅱ）当90ABC，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为//ABl，且AB边通过点(00)，，所以AB所在直线的方程为yx．1分设A，B两点坐标分别为1122()()xyxy，，，．由2234xyyx，得1x．3分所以12222ABxx．4分又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离．于是2h，5分所以122ABCSABh△．6分（Ⅱ）设AB所在直线的方程为yxm，由2234xyyxm，得2246340xmxm．8分因为A，B在椭圆上，所以212640m．9分设A，B两点坐标分别为1122()()xyxy，，，，则1232mxx，212344mxx，所以21232622mABxx．10分又因为BC的长等于点(0)m，到直线l的距离，即22mBC．11分所以22222210(1)11ACABBCmmm．所以当1m时，AC边最长，（这时12640）此时AB所在直线的方程为1yx．12分