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韶钢六中2012届高三月考数学(文)试题2011-10-19一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|11,}MxxxZ,{0,1,2}N,则MN为(D)A.{1}B.{0,1,2}C.{|01}xxD.{0,1}2.已知1(,,),1abiabiabi是实数是虚数单位则(B)A.—1B.3C.1D.23.已知向量1,1a,1,bn,若||abab,则n(C)A.3B.1C.0D.14.在等差数列na中,若232aa,456aa,则56aa(A)A.8B.10C.12D.145.已知函数2cos()(0)yx的最小正周期为,那么=(D)A.13B.12C.1D.26.已知命题p:xR,5cos4x;命题q:2,10xRxx.则下列结论正确的是(C)A.命题pq是真命题B.命题pq是真命题C.命题pq是真命题D.命题pq是假命题7.抛物线24yx的焦点坐标为(D)A.(0,2)B.(2,0)C.(0,1)D.(1,0)8.如图,是青年歌手大奖赛上9位评委给某位选手打分的茎叶图,(C)去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为A.85B.86C.87D.889.已知a,b是两条不重合的直线,,是两个不重合的平面,下列命题中正确的是(C)A.//ab,//b,则//aB.a,b,//a,//b,则//C.a,//b,则abD.当a,且b时,若b∥,则a∥b10.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为(A)A.827B.271C.2627D.1527二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)(一)必做题(11-13题)11.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.12已知三数x+log272,x+log92,x+log32成等比数列,则公比为13,图中是一个算法流程图,则输出的n=.(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分)14.(坐标系与参数方程选做题)圆C的极坐标方程2cos化为直角坐标方程222侧(左)视图222正(主)视图俯视图(第13题图)开始是输出n否n←.1,S←0S2011S←S+2nn←n+1结束为,该圆的面积为.15.(几何证明选讲)已知PA是圆O的切线,切点为A,直线PO交圆O于,BC两点,2AC,120PAB,则圆O的面积为.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本题满分12分)在△ABC中,a2+c2=2b2,其中a,b,c分别为角A,B,C所对的边长.(1)求证:B≤3;(2)若4B,且A为钝角,求A.解(1)由余弦定理,得222cos24acbacBacac22.……………………………………3分因22acac2≥,1cos2B≥.………………………………………………………6分由0<B<π,得3B≤,命题得证.……………………………………………7分(2)由正弦定理,得222sin+sin=2sinACB.…………………………………………10分因4B,故22sinB=1,于是22sin=cosAC.……………………………………12分因为A为钝角,所以3sin=cos=cos()=sin()44ACAA.所以()4AA(=4AA,不合,舍).解得5=8A.…………………14分17.(本题满分12分)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本,得频率分布表如下:组号分组频数频率第一组230,23580.16第二组235,240①0.24第三组240,24515②ABCDEA1B1C1(第18题图)第四组245,250100.20第五组[250,255]50.10合计501.00(1)写出表中①②位置的数据;(2)为了选拔出更优秀的学生,高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核,分别求第三、四、五各组参加考核人数;(3)在(2)的前提下,高校决定在这6名学生中录取2名学生,求2人中至少有1名是第四组的概率.解:(1)①②位置的数据分别为12、0.3;………………………………………………4分(2)第三、四、五组参加考核人数分别为3、2、1;…………………………………8分(3)设上述6人为abcdef(其中第四组的两人分别为d,e),则从6人中任取2人的所有情形为:{ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef}共有15种.…………………………………………………………………………10分记“2人中至少有一名是第四组”为事件A,则事件A所含的基本事件的种数有9种.…………………………………………………………………………………12分所以93()155PA,故2人中至少有一名是第四组的概率为35.18.(本题满分14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中.(1)若BB1=BC,B1C⊥A1B,证明:平面AB1C平面A1BC1;(2)设D是BC的中点,E是A1C1上的一点,且A1B∥平面B1DE,求11AEEC的值.解:(1)因为BB1=BC,所以侧面BCC1B1是菱形,所以B1C⊥BC1.…………………3分又因为B1C⊥A1B,且A1B∩BC1=B,所以BC1⊥平面A1BC1,…………………5分又B1C平面AB1C,所以平面AB1C⊥平面A1BC1.……………………………7分(2)设B1D交BC1于点F,连结EF,则平面A1BC1∩平面B1DE=EF.因为A1B//平面B1DE,A1B平面A1BC1,所以A1B//EF.…………………11分所以11AEEC=1BFFC.又因为1BFFC=1112BDBC,所以11AEEC=12.………………………………………19.(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆22221xyab(a>b>0)的离心率为22,其焦点在圆x2+y2=1上.(1)求椭圆的方程;(2)设A,B,M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使cossinOMOAOB.(i)求证:直线OA与OB的斜率之积为定值;(ii)求OA2+OB2.解:(1)依题意,得c=1.于是,a=2,b=1.……………………………………2分所以所求椭圆的方程为2212xy.………………………………………………4分(2)(i)设A(x1,y1),B(x2,y2),则221112xy①,222212xy②.又设M(x,y),因cossinOMOAOB,故1212cossin,cossin.xxxyyy…………7分因M在椭圆上,故221212(cossin)(cossin)12xxyy.整理得22222212121212()cos()sin2()cossin1222xxxxyyyy.将①②代入上式,并注意cossin0,得121202xxyy.所以,121212OAOByykkxx为定值.………………………………………………10分(ii)2222222222121212121212()()(1)(1)1()222xxxxyyyyyyyy,故22121yy.又22221212()()222xxyy,故22122xx.所以,OA2+OB2=22221122xyxy=3.…………………………………………16分20.(本题满分14分)已知数列{an}满足:a1=a2=a3=2,an+1=a1a2…an-1(n≥3),记22221212nnnbaaaaaa(n≥3).(1)求证数列{bn}为等差数列,并求其通项公式;(2)设221111nnncbb,数列{nc}的前n项和为Sn,求证:nSnn+1.解:(1)方法一当n≥3时,因22221212nnnbaaaaaa①,故22221121121nnnnnbaaaaaaaa②.……………………………………2分②-①,得bn-1-bn-2=21121(1)nnnaaaaa=2111(1)(1)nnnaaa=1,为常数,所以,数列{bn}为等差数列.…………………………………………………………5分因b1=222123123aaaaaa=4,故bn=n+3.……………………………………8分方法二当n≥3时,a1a2…an=1+an+1,a1a2…anan+1=1+an+2,将上两式相除并变形,得21211nnnaaa.……………………………………2分于是,当n∈N*时,222122122nnnbaaaaaa2221235432122(1)(1)nnnaaaaaaaaaa222123343(1)(1)nnaaaaana410na.又a4=a1a2a3-1=7,故bn=n+3(n∈N*).所以数列{bn}为等差数列,且bn=n+3.………………………………………………8分(2)方法一因nc22111(3)(4)nn222((3)(4)1)(3)(4)nnnn,…………………12分故nc(3)(4)1(3)(4)nnnn11(3)(4)nn11134nn.所以111111(1)(1)(1)455634nSnn1144nn,………15分即n<Sn<n+1.………………………………………………………………………16分方法二因221111(3)(4)ncnn,故nc1,nSn.……………………10分22111111(3)(4)(2)(3)(3)(4)ncnnnnnn=11124nn112n21(1)2n,故nc112n,于是1(1)12nSnnn.…………………………………21.(本题满分14分)设函数f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c,其中a>0,b,c∈R.(1)若1()3f=0,求函数f(x)的单调增区间;(2)求证:当0≤x≤1时,|()fx|≤max{(0),(1)}ff.(注:max{a,b}表示a,b中的最大值)解:(1)由1()3f=0,得a=b.…………………………………………………………1分故f(x)=ax3-2ax2+ax+c.由()fx=a(3x2-4x+1)=0,得x1=13,x2=1.…………………………………………2分列表:x(-∞,13)13(13,1)1(1,+∞)()fx+0-0+f(x)增极大值减极小值增由表可得,函数f(x)的单调增区间是(-∞,13)及(1,+∞).…………………………4分(2)()fx=3ax2-2(a+b)x+b=3222()33abababaxaa.①当1,033ababaa≥或≤时,则()fx在[0,1]上是单调函数,所以(1)f≤()fx≤(0)f,或(0)f≤()fx≤(1)f,且(0)f+(1)f=a0.所以|()fx|≤max{(0),(1)}ff.………………………………………………………8分②当013aba<<,即-a<b<2a,则223ababa≤()fx≤max{(0),(1)}ff.(i)当-a<b≤
本文标题:韶钢六中2012届高三月考数学(文)试题
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