整式的加减专题知识点-常考(典型)题型-重难点题型(含详细答案)

整式的加减专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录.................................................................................................1二、基础知识点.....................................................................................21.单项式的概念................................................................................22.多项式的概念................................................................................33.整式的概念....................................................................................44.正确列代数式................................................................................55.同类项的概念................................................................................76.合并同类项....................................................................................87.去括号法则....................................................................................98.整式的加减（合并同类项）.......................................................10三、重难点题型...................................................................................111.整式加法的应用...........................................................................112.待定系数法..................................................................................123.整式的代入思想...........................................................................134.整数的多项式表示.......................................................................145.与字母的取值无关的问题...........................................................156.整式在生活中的应用...................................................................16二、基础知识点1.单项式的概念单项式：数或字母的积叫作单项式注：①分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式②“或”单独的一个数字或单独一个字母也称为单项式例：5x；100；x；10ab等系数：单项式中的数字叫做单项式的系数单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和例1.判断下列各式中那些是单项式，那些不是？如果是单项式，请指出它的系数和次数。-13b；13𝑥𝑦2；2𝜋；−𝑎𝑏；32𝑎2𝑏；13𝑎−𝑏；−5𝑥2𝑦33答案：单项式有：-13b，系数为－13，次数为113𝑥𝑦2，系数为13，次数为1+2=32𝜋，系数为2𝜋，次数为032𝑎2𝑏，系数为9，次数为2+1=3−5𝑥2𝑦33，系数为−53，次数为2+3=5例2.−x𝑦2𝑧3的系数是，次数是。答案：系数为：－1，次数为1+2+3=62.多项式的概念多项式：几个单项式的和叫作多项式注：减单项式，实际是加该单项式的负数，也称作“和”项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式常数项：不含字母的项多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式）例1.将多项式3x𝑦3−4𝑥4+15𝑥2𝑦2按字母y作升幂排列。答案：−4𝑥4+15𝑥2𝑦2+3x𝑦3−4𝑥4中y的次数为015𝑥2𝑦2中y的次数为23x𝑦3中y的次数为3例2.指出下列多项式的项和次数，并说明每个多项式是几次几项式。①𝑥3−𝑥2𝑦+𝑥𝑦2−𝑦3②−3𝑥6+2𝑥2+1答案：①项有：𝑥3，次数为3次；−𝑥2𝑦，次数为3次；𝑥𝑦2，次数为3次；−𝑦3，次数为3次；综上得，该多项式为：三次四项式②项有：−3𝑥6，次数为6次；2𝑥2，次数为2次；1，次数为0次；综上得，该多项式为：六次三项式例3.如果式子（m+4）𝑥|𝑚|−1𝑦2−3𝑥𝑦3是关于x，y的五次二项式，求m的值答案：因为式子是五次二项式又因为−3𝑥𝑦3是四次式所以（m+4）𝑥|𝑚|−1𝑦2是五次式，且（m+4）≠0即：{𝑚+4≠0|𝑚|−1+2=5解得：m=43.整式的概念整式：单项式与多项式统称为整式。多项式单项式整式提示：①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）例1.判断下列各式是否为整式：①-1；②x；③54𝜋𝑟6；④1𝑥−2；⑤2𝑥−16；⑥𝑥−2𝑦𝜋答案：整式有：①②③⑤⑥④不是整式，因为④中字母为分母例2.①若𝑎2+a=0，求2𝑎2+2a+2016的值。②代数式3𝑥2-4x+6的值为9，求𝑥2−43x+6的值。答案：①因为a2+a=0所以2a2+2a=0所以2a2+2a+2016=2016②因为3𝑥2-4x+6=9所以𝑥2−43x+2=3所以𝑥2−43x+6=74.正确列代数式（1）字母与数字相乘，或字母与字母相乘，乘号不用“×”，而是“”，或略去不写。因“×”与“x”易混淆。（2）字母与数字相乘，一般数字在前，系数带分数的，一般写成假分数。因312x易混淆为312x。（3）系数是1时，一般省略不写。（4）多项式后面带单位，多项式须用括号括起来。例1.设甲数为x，用代数式表示下列的乙数：①乙数比甲数小7%；②乙数是甲数的134倍；③甲数的倒数比乙数小5.答案：①（1-7%）x②74x③1x+5例2.用代数式表示下列关系①a与b的2倍的和除以c所得的商；②x，y两数差的平方；③x的相反数与y的立方的和；④x与y的平方差；⑤a的5倍与b的和的一半；⑥－a与212的积；⑦－2a除以b与3c的积的商。答案：①2（a+b）c②（x−y）2③－x+y3④x2−y2⑤5a+b2⑥−5a2⑦−2a3bc5.同类项的概念同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项）例：5ab𝑐2与3ab𝑐2；abc与3abc判断同类项需要同时满足2个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数相同例1.指出多项式中的同类项：①3x-2y+1+5y-2x-3；②4𝑥2𝑦−2𝑦2𝑥+14𝑥𝑦2−76𝑦𝑥2−8𝑥𝑦2答案：①同类项为：3x与-2x；-2y与5y；1与-3②同类项为：4x2y与−76yx2；−2y2x与14xy2与−8xy2例2.已知−2𝑥6𝑦𝑎+1与8𝑥2𝑏𝑦3是同类项，求a+b的值。答案：因为−2x6ya+1与8x2by3是同类项所以{6=2ba+1=3解得：{a=2b=3则：a+b=56.合并同类项同类项的加减运算合并同类项5545)32()84()27()32()84(283724222222xxxxxxxxxxxx将多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项同类项合并的计算方法：系数对应向加减，字母及指数不变。例1.合并下列多项式中的同类项：①2𝑎2𝑏−3𝑎2𝑏+12𝑎2𝑏；②𝑎3−𝑎2𝑏+𝑎𝑏2+𝑎2𝑏−𝑎𝑏2+𝑏3答案：①2a2b−3a2b+12a2b=（2－3+12）a2b=−12a2b②a3−a2b+ab2+a2b−ab2+b3=a3+(−1+1)a2b+(1−1)ab2+b3=a3+b3例2.计算：−(2𝑥2−3x−1)−2(𝑥2−3x+5)+（𝑥2+4x+3）答案：−(2x2−3x−1)−2(x2−3x+5)+（x2+4x+3）=−2x2+3x+1−2x2+3x−10+x2+4x+3=（−2−2+1）x2+(3+3+4)x+（1−10+3）=－3x2+10x－67.去括号法则（1）括号前是“+”，去括号后，括号内的符号不变（2）括号前是“-”，去括号后，括号内的符号全部要变号。（3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数。例1.去括号并合并多项式中的同类项：①4a－（a－3b）；②a+（3b－5a）－（a－2b）；③3（2xy－y）－2xy答案：①4a－（a－3b）=4a－a+3b=3a+3b②a+（3b－5a）－（a－2b）=a+3b－5a－a+2b=－5a+5b③3（2xy－y）－2xy=6xy－3y－2xy=4xy－3y例2.计算：3a−[a−2(a−b)]+b答案：原式=3a－[a－2a+2b]+b=3a－[－a+2b]+b=3a+a－2b+b=4a－b8.整式的加减（合并同类项）整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为：①将同类项找出，并置与一起；②合并同类项。例1.求整式−12𝑥2𝑦+𝑥𝑦与15𝑥𝑦−13𝑥2𝑦的差。答案：−12𝑥2𝑦+𝑥𝑦−（15𝑥𝑦−13𝑥2𝑦）=−12𝑥2𝑦+𝑥𝑦−15𝑥𝑦+13𝑥2𝑦=−16𝑥2𝑦+45𝑥𝑦例2.求𝑥3−2𝑥2+𝑥+4与2𝑥3−5𝑥+6的和与差。答案：𝑥3−2𝑥2+𝑥+4－（2𝑥3−5𝑥+6）=𝑥3−2𝑥2+𝑥+4－2𝑥3+5𝑥−6=－𝑥3−2𝑥2+6𝑥−2三、重难点题型1.整式加法的应用方法：整式的加减法运算，主要利用合并同类项。例1.已知A=2𝑥2+3xy−8x+3，B=3𝑥2−2𝑥𝑦+𝑥−5，且3A−2B的值与x无关，求y的值。答案：3A－2B=3（2x2+3xy−8x+3）－2（x2−2xy+x−5）=（13y－26）x+19因为结果与x无关所以13y－26=0解得y=2例2.x，y均为整数，使得x+9y是5的倍数，求证：8x+7y也是5的倍数答案：设A（x+9y）+B（8x+7y）=5k1x+5K2x则{𝐴+8𝐵=5𝑘19𝐴+7𝐵=5𝑘2解得：{65𝐴=5𝑘3−55𝐵=55𝑘4令A=2，B=1，则2（x+9y）+（8x+7y）=5（2x+5y）所以8x+7y是5的倍数2.待定系数法方法：两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等。例1.若等式𝑥2−𝑥+2=𝐴(𝑥−3)(𝑥−2)+𝐵𝑥(𝑥+2)+𝐶𝑥（𝑥−3）是恒等式，求系数A、B、C的值。答案：当x=0时，2=－6A，A=−13；当x=3时，8=15B，B=815；当x=－2时，8=10C，C=45例2.已知（x+a）（𝑥2−𝑥+𝑐）的积中不