椭圆中两个最大张角(精.选)

word.椭圆中的两个最大张角在椭圆中有两个比较特殊的角，一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角，另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角，它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的两个角，它们有着重要的应用，给解决一些问题带来很大的方便，现归纳如下：一．两个重要结论命题1．如图：已知12,FF为椭圆22221(0)xyabab的两个焦点,P为椭圆上任意一点,则当点P为椭圆短轴的端点时,12FPF最大。分析：12(0,)FPF，而cosyx在(0,)为减函数，只要求cosyx的最小值，又知1212||||2,||2PFPFaFFc，利用余弦定理可得。证明：如图，由已知：1212||||2,||2PFPFaFFc，所以221212||||||||()2PFPFPFPFa，（当12||||PFPF时取等号）由余弦定理得：22212121212||||||cos2||||PFPFFFFPFPFPF2212121212(||||)2||||||2||||PFPFPFPFFFPFPF22222121244421112||2||||acbbPFPFPFPFa（当12||||PFPF时取等号），所以当12||||PFPF时，12cosFPF的值最小，因为12(0,)FPF，所以此时12FPF最大。即点P为椭圆短轴的端点时12FPF最大。命题2．如图：已知,AB为椭圆22221(0)xyabab长轴上的两个顶点，Q为椭圆上1F2FXYOP0Pword.任意一点,则当点Q为椭圆短轴的端点时,AQB最大。分析：当AQB最大时，AQB一定是钝角，而tanyx在(,)2上是增函数，利用点Q的坐标，表示出tanAQB，再求tanAQB的最大值。证明：如图，不妨设(,)(0,0)Qxyxayb，则,,APaxBPaxPQy，所以tan,tanaxaxAQPBQPyy，则tantantan1tantanAQPBQPAQBAQPBQP222222221aayyaxxyay，又22222axayb，所以222tan(1)aAQBayb，因为2210ab，(,)2AQB，所以当yb时，tanAQB取得最大值，此时AQB最大，所以当点Q为椭圆短轴的端点时,AQB最大。二．两个结论的应用利用上面两个结论，在解决一些问题带来很大的方便：例1．已知12,FF为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得1260FPF，求椭圆离心率的取值范围。分析：因为存在1260FPF，所以只要最大角10260FPF，即1021302FPF，即103tan3FPO，也就是33cb，从而求出e的范围。解析：由结论1知：当点0P为椭圆短轴的端点时,102FPF最大，因此要最大角XYOQAB0QPword.10260FPF，即1021302FPF，即103tan3FPO，也就是33cb，解不等式2233cac，得12e，故椭圆的离心率1[,1)2e。例2．设12,FF为椭圆22194xy的两个焦点,P为椭圆上任意一点，已知12,,PFF是一个直角三角形的三个顶点，且12||||PFPF，求12||||PFPF的值。分析：由结论1知：当点0P为椭圆短轴的端点时,102FPF最大，且最大角为钝角，所以本题有两种情况：90P或290F。解析：由已知可得，当点0P为椭圆短轴的端点时,102FPF最大且102FPF为钝角，由结论1知，椭圆上存在一点P，使12FPF为直角，又21PFF也可为直角，所以本题有两解；由已知有1212||||6,||25PFPFFF（1）若21PFF为直角，则2221212||||||PFPFFF，所以2211||(6||)20PFPF，得12144||,||33PFPF，故12||7||2PFPF；（2）若12FPF为直角，则2221212||||||FFPFPF，所以221120||(6||)PFPF，得12||4,|2|PFPF，故12||2||PFPF。评注：利用最大角知道，12FPF可以为直角，从而容易判断出分两种情况讨论，避免了漏解的情况。例3．已知椭圆22221(0)xyabab,长轴两端点为,AB，如果椭圆上求这个椭圆的离心率的取值范围。word.分析：由结论2知：当点0P为椭圆短轴的端点时,0APB最大，因此只要最大角不小于120即可。解析：由结论2知：当点0P为椭圆短轴的端点时,0APB最大，因此只要0120APB，则一定存在点Q，使120AQB，1602AQB，即60APO所以223aac,得63e，故椭圆的离心率的取值范围是6[,1)3e。三．巩固练习：1．已知焦点在x轴上的椭圆2221(0)4xybb，12,FF是它的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得120PFPF，求b的取值范围。2．已知椭圆22194xy，12,FF是它的两个焦点，点P为其上的动点，当12FPF为钝角时，求点P横坐标的取值范围。答案：1．解：由结论1知，当点P为椭圆短轴的端点时,12FPF最大，若此时120PFPF，则有：bc，又2a，所以2b，因为椭圆越扁，这样的点一定存在，所以b的取值范围为：02b。2．解：由结论1知，当点P越接近短轴的端点时，12FPF越大，所以只要求12FPF为直角时点P的横坐标的值，因为5c，所以当12FPF为直角时，点P在圆225xy上，解方程组：2222x1945yxy，得：355x，所以点P横坐标的取值范围是：353555x。word.最新文件仅供参考已改成word文本。方便更改