专题1.2--勾股定理章末重难点题型(举一反三)(人教版)(解析版)

1专题1.2勾股定理章末重难点题型【人教版】【考点1利用勾股定理求面积】【方法点拨】解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.【例1】（2019春•鄂城区期中）在RtAED中，90E，3AE，4ED，以AD为边在AED的外侧作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积是()A．5B．25C．7D．10【分析】根据勾股定理得到225ADAEDE，根据正方形的面积公式即可得到结论．【答案】解：在RtAED中，90E，3AE，4ED，225ADAEDE，四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的面积22525AD，故选：B．2【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式1-1】（2019春•宾阳县期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E的边长为10，则四个正方形A，B，C，D的面积之和为()A．24B．56C．121D．100【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可．【答案】解：根据勾股定理的几何意义，可知：EFGSSSABCDSSSS100；即四个正方形A，B，C，D的面积之和为100；故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式1-2】（2019春•武昌区校级期中）如图，RtABC中，90ACB，以AC、BC为直径作半圆1S和2S，且122SS，则AB的长为()3A．16B．8C．4D．2【分析】根据勾股定理得到222ACBCAB，根据圆的面积公式计算，得到答案．【答案】解：由勾股定理得，222ACBCAB，2222111()()()222228ACBCACBC，解得，2216ACBC，则22216ABACBC，解得，4AB，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么222abc．【变式1-3】（2019春•兰山区期中）如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若1S，2S，3S，4S和S分别代表相应的正方形的面积，且14S，29S，38S，410S，则S等于()A．25B．31C．32D．40【分析】如图，根据勾股定理分别求出2AB、2AC，进而得到2BC，即可解决问题．【答案】解：如图，由题意得：21213ABSS，23418ACSS，22231BCABAC，231SBC．故选：B．4【点睛】主要考查了正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理等几何知识点．【考点2判断直角三角形】【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例2】（2019春•芜湖期中）在以线段a，b，c的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是()A．4a，5b，6cB．::5:12:13abcC．2a，3b，5cD．4a，5b，3c【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【答案】解：A、222456，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；B、设三角形三边为5k，12k，13k，2(5)(k2212)(13)kk，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、(22)(23)(25)，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、222345，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．【变式2-1】（2018春•淮南期中）a、b、c为ABC三边，不是直角三角形的是()A．::3:4:5ABCB．54a，1b，34cC．222acbD．8ak，17bk，15ck【分析】利用勾股定理的逆定理判断B、C、D选项，用直角三角形各角之间的关系判断A选项．【答案】解：A、::3:4:5ABC，设3Ax，则4Bx，5Cx，180ABC，即345180xxx，解得，15x，555157590x，故本选项错误；B、2226810，222abc，故本选项正确；C、222abc，222acb，故本选项正确；D、22281517kkk，222abc，故本选项正确．故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，若已知三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；若已知三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断．【变式2-2】（2018秋•金牛区校级期中）下列说法中，正确的有()①如果0ABC，那么ABC是直角三角形；②如果::5:12:13ABC，则ABC是直角三角形；③如果三角形三边之比为7:10:17，则ABC为直角三角形；④如果三角形三边长分别是24n、4n、24(2)nn，则ABC是直角三角形；A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．【答案】解：①正确，由三角形内角和定理可求出C为90度；②不正确，因为根据三角形的内角和得不到90的角；③正确，设三边分别为7x，10x，17x，则有2271017x；④正确，因为222(4)(4)(4)nnn．所以正确的有三个．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理和有一角为90来判定．【变式2-3】（2019春•寿光市期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是()A．点A、点B、点CB．点A、点D、点G6C．点B、点E、点FD．点B、点G、点E【分析】根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．【答案】解：A、213637AB，2162541AC，21910BC，371041，不可以构成直角三角形；B、2161632AD，293645AG，2145DG，32545，不可以构成直角三角形；C、2361652BE，2252550BF，2112EF，50252，可以构成直角三角形D、225934BG，2361652BE，29110GE，341052，不可以构成直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．【考点3利用勾股定理求最短路径】【方法点拨】解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理即可求解.【例3】（2018秋•福田区校级期中）如图，一圆柱高BC为20cm，底面周长是10cm，一只蚂蚁从点A爬到点P处吃食，且35PCBC，则最短路线长为()A．20cmB．13cmC．14cmD．18cm【分析】根据题意画出图形，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出AP即可．【答案】解：如图展开，连接AP，则AP就是蚂蚁爬行的最短路线长，则90C，11052ACcmcm，20BCcm，35PCBC，712CPcm，由勾股定理得：222251213()APACCPcm，即蚂蚁爬行的最短路线长是13cm，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理和平面展开最短路线问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．【变式3-1】（2018秋•沙坪坝区校级月考）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为()A．15dmB．17dmC．20dmD．25dm【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为(23)3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：22228[(23)3]17x，解得17x．故选：B．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．【变式3-2】（2018春•凉州区期末）如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要()8A．12cmB．11cmC．10cmD．9cm【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【答案】解：将长方体展开，连接A、B，则13138()AAcm，6ABcm，根据两点之间线段最短，228610ABcm．故选：C．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．【变式3-3】（2019秋•松滋市期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是()A．73厘米B．10厘米C．82厘米D．8厘米【分析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．【答案】解：如图所示：最短路径为：PA，将圆柱展开，92222(162)(61.51.5)10PAPEEAcm，最短路程为10PAcm．故选：B．【点睛】此题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．【考点4勾股数相关问题】【方法点拨】勾股数的求法：（1）如果a为1个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾股数；（2）如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.【例4】（2018秋•新密市校级期中）下列各组数据是勾股数的有组．（填写数量即可）（1）6，8，10（2）1.5，2，2.5（3）23，24，25（4）7，24，25（5）3，4，5【分析】根据勾股数：满足222abc的三个正整数，称为勾股数进行计算可得答案．【答案】解：因为2226810；22272425，6，8，10，7，24，25都是正整数勾股数有2组，故答案为2．【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足222abc，则三角形ABC是直角三角形．【变式4-1】（2019春•闽侯县期中）勾股定理222abc本身就是一个关于a，b，c的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数(a，b，)c通常叫做勾股数．如果三角形最长边2221cnn，其中一短边21an，另一短边为b，如果a，b，c是勾股数，则b（用含n的代数式表示，其中n为正整数）【分析】根据勾股定理解答即可．10【答案】解：2221cnn，21an222bnn，故答案为：222nn【点睛】本题考查了勾股数，根据勾股定理解答是解题的关键．【变式4-2】（2018春•襄城区期中）观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：．【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之