湖南省长沙市一中2011届高三第三次月考理科数学试题

长沙市一中2011届高三第三次月考试卷理科数学命题人：长沙市一中高三数学备课组时量：120分钟满分：150分（集合、逻辑、算法、复数、函数、导数、三角函数、平面向量、数列）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1}Pxx，2{0}Qxxx，则下列结论正确的是（）A．PQB．PQRC．PQD．QP2．若函数()fx的定义域为R,则“函数()fx为奇函数”是“函数()fx奇函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件3．已知函数()sin()(0)3fxx的最小正周期为，则该函数图象（）A．关于直线6x对称B．关于直线3x对称C．关于点(6，0)对称D．关于点(3，0)对称4．如右图，设12,ee为互相垂直的单位向量，则向量ab可表示为（）A．123eeB．1224eeC．213eeD．123ee5．设数列na，nb分别为等差数列与等比数列，且11444,1abab，则以下结论正确的是（）A.22abB.33abC.55abD.66ab6.函数'()yfx是函数()yfx的导函数，且函数()yfx在点00(,())pxfx处的切线为000:()'()()(),()()()lygxfxxxfxFxfxgx，如果函数()yfx在区间[,]ab上的图像如图所示，且0axb，那么（）A．00'()0,Fxxx是()Fx的极大值点B．0'()Fx=00,xx是()Fx的极小值点C．00'()0,Fxxx不是()Fx极值点D．00'()0,Fxxx是()Fx极值点7．设O为△ABC内一点，若kR，有||||OAOBkBCOAOC，则△ABC的形状一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定8．已知函数()fx满足：①定义域为R；②xR，有(2)2()fxfx；③当[1,1]x时，()||1fxx．则方程4()log||fxx在区间[10,10]内的解个数是（）A．20B．12C．11D．10选择题答题卡题号12345678答案二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．9．复数11izi的实部与虚部之和为．10．计算22sin2xdx．11．已知{na}是各项均为正数的等比数列，123aaa=5，789aaa=10，则456aaa=．12．已知函数2cos2000()31002000xxfxxx，则[(2010)]ff．13．设有算法如右图：如果输入A=144,B=39,则输出的结果是.14．设函数2()3fxxaxa,()2gxaxa．若0Rx，使得0()0fx与0()0gx同时成立，则实数a的取值范围是．yx123452131241204log||yx4log||yx15．当n为正整数时，定义函数N(n)表示n的最大奇因数．如N(3)=3，N(10)=5，…．记()(1)(2)(3)(2)nSnNNNN．则（1）(4)S86．（2）()Sn．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知A,B,C三点的坐标分别为)0,3(A，)3,0(B，(cos,sin)C，其中3(,)22．（1）若ACBC，求角的值；（2）若1ACBC，求tan()4的值．17．(本小题满分12分)在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinsincosABC，（1）求角A，B，C的大小；（2）若BC边上的中线AM的长为7，求△ABC的面积．18．（本小题满分12分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站．记P到三个村庄的距离之和为y.（1）设PBO，求y关于的函数关系式；（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？19．（本小题满分13分）已知2x是函数2(2),0(),0xxaxexfxbxx的极值点．（1）当0b时，讨论函数()fx的单调性；（2）当bR时，函数y()fxm有两个零点，求实数m的取值范围.OBCAP（第18题图）20．（本小题满分13分）设数列{}na是有穷等差数列，给出下面数表：1a2a3a……1nana第1行12aa23aa……1nnaa第2行………………第n行上表共有n行，其中第1行的n个数为123,,,,naaaa，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和.记表中各行的数的平均数（按自上而下的顺序）分别为12,,,nbbb．（1）求证：数列12,,,nbbb成等比数列；（2）若21(1,2,,)kakkn，求和1nkkkab.21．（本小题满分13分）已知函数()fx的图象在[,]ab上连续不断，定义：1()min{()|}fxftatx([,])xab，2()max{()|}fxftatx([,])xab．其中，min{()|}fxxD表示函数()fx在D上的最小值，max{()|}fxxD表示函数()fx在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得21()()()fxfxkxa对任意的[,]xab成立，则称函数()fx为[,]ab上的“k阶收缩函数”．（1）已知函数()2sin,[0,]2fxxx，试写出1()fx，2()fx的表达式，并判断()fx是否为[0,]2上的“k阶收缩函数”，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由；（2）已知0b，函数32()3gxxx是[0,]b上的2阶收缩函数，求b的取值范围.理科数学教师用卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1}Pxx，2{0}Qxxx，则下列结论正确的是（C）A．PQB．PQRC．PQD．QP2．若函数()fx的定义域为R,则“函数()fx为奇函数”是“函数()fx奇函数”的（C）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件3．已知函数()sin()(0)3fxx的最小正周期为，则该函数图象（D）A．关于直线6x对称B．关于直线3x对称C．关于点(6，0)对称D．关于点(3，0)对称【解析】由已知得，2,()sin(2),33fxxx所以当时，f(x)=0，故点,03是它的一个对称中心．4．如右图，设12,ee为互相垂直的单位向量，则向量ab可表示为（A）A．123eeB．1224eeC．213eeD．123ee5．设数列na，nb分别为等差数列与等比数列，且11444,1abab，则以下结论正确的是（A）A.22abB.33abC.55abD.66ab【解析】114,dqab设等差数列的公差为，等比数列公比为,由441ab，1,d得322q，于是322322,ab故选A6.函数'()yfx是函数()yfx的导函数，且函数()yfx在点00(,())pxfx处的切线为000:()'()()(),()()()lygxfxxxfxFxfxgx，如果函数()yfx在区间[,]ab上的图像如图所示，且0axb，那么（B）A．00'()0,Fxxx是()Fx的极大值点B．0'()Fx=00,xx是()Fx的极小值点C．00'()0,Fxxx不是()Fx极值点D．00'()0,Fxxx是()Fx极值点7．设O为△ABC内一点，若kR，有||||OAOBkBCOAOC，则△ABC的形状一定是（B）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解析】由题设得，||||BAkBCAC，再由向量的几何意义易知，ACBC，故选B．8．已知函数()fx满足：①定义域为R；②xR，有(2)2()fxfx；③当[1,1]x时，()||1fxx．则方程4()log||fxx在区间[10,10]内的解个数是（C）A．20B．12C．11D．10【解析】（数形结合）在同一直角坐标内作出函数()fx和4log||yx的图象如右图，由图易知，()yfx与4log||yx的图象在[10,0]有两个交点，在(0,10]内有9个交点，故方程4()logfxx在区间[10,10]内共有11个解．选择题答题卡题号12345678答案CCDAABBC二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．9．复数11izi的实部与虚部之和为1．10．计算22sin2xdx8．11．已知{na}是各项均为正数的等比数列，123aaa=5，789aaa=10，则456aaa=52．【解析】由等比数列的性质知，123aaa，456aaa，789aaa成等比数列,所以45652aaa．12．已知函数2cos2000()31002000xxfxxx，则[(2010)]ff1．13．设有算法如右图：如果输入A=144,B=39,则输出的结果是3.【解析】（1）A=144，B=39，C=27；（2）A=39，B=27，C=12；yx123452131241204log||yx4log||yx（3）A=27，B=12，C=3；（4）A=12，B=3，C=0.所以A=3．14．设函数2()3fxxaxa,()2gxaxa．若0Rx，使得0()0fx与0()0gx同时成立，则实数a的取值范围是（7，＋∞）．【解析】由题设知，2430aa，即2a或6a,且()2gxaxa恒过定点2,0．①当6a时，如上左图，则6720aaf；③当2a时，如上右图，x对12a，又14f，显然不成立．综上知，a的取值范围为(7,)．15．当n为正整数时，定义函数N(n)表示n的最大奇因数．如N(3)=3，N(10)=5，…．记()(1)(2)(3)(2)nSnNNNN．则（1）(4)S86．（2）()Sn423n．【解析】由题设知，(2)(),(21)21NnNnNnn．（1）(4)[(1)(3)(5)(15)][(2)(4)(6)(16)],SNNNNNNNN[13515][(2)(4)(6)(16)]NNNN33323214(3)4(3)44(2)444(1)SSSS86．（2）()[135(21)][(2)(4)(6)(2)],nnSnNNNN11()4(1)(1),(1)1nSnSnnSN又，1210()42444413nnnnS．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知A,B,C三点的坐标分别为)0,3(A，)3,0(B，(cos,sin)C，其中3(,)22．（1）若ACBC，求角的值；（2）若1ACBC，求tan()4的值．【解析】（1）∵(cos3,sin)AC，(cos,sin3)BC，∴22||(cos3)sin106cosAC，||106sinBC．由||||ACBC得sincos．…………………………………4分又3