八年级春季班-01-一次函数的概念和图像-教师版

1、一次函数的概念（1）一般地，解析式形如ykxb（k，b是常数，且0k）的函数叫做一次函数；（2）一次函数ykxb的定义域是一切实数；（3）当0b时，解析式ykxb就成为ykx（k是常数，且0k）这时，y是x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；（4）一般地，我们把函数yc（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定．一次函数的图像及性质知识结构知识精讲模块一：一次函数的概念2【例1】下列函数中，哪些是一次函数?（1）232yx；（2）12yx；（3）(5)(0)ymxm；（4）1(0)yaxaa；（5）(0)kykxkx；（6）(3)(3)ykxk．【难度】★【答案】（2）、（3）、（4）、（6）．【解析】判断是否是一次函数，要整理成(0)ykxbk的形式，一次函数有x要是一次，0k且是整式几个注意点．（1）是二次函数，（5）是分式．【总结】考查一次函数的基本概念，会判断两个量是否是一次函数关，一般要把关系式整理成概念的标准形式，找出对应kb，．【例2】（1）已知函数2(2)1ykx是一次函数，则k的取值范围是_________；（2）当m=________时，函数215(4)myxm是一次函数，且不是正比例函数．【难度】★【答案】（1）2k；（2）4m．【解析】（1）一次函数(0)ykxbk，所以2k；（2）一次函数(0)ykxbk其中，x要是一次，所以4m，又因为是一次函数，不是正比例函数，所以4m（）不能为0，所以4m．【总结】考查一次函数的基本概念中对于自变量一次的理解．【例3】已知一个一次函数，当自变量2x时，函数值为1y；当2x时，11y．求这个函数的解析式．【难度】★★【答案】35yx．【解析】设一次函数解析式为(0)ykxbk，将21211，-，，两点代入解二元一次方程组，解得：35kb，，所以这个函数的解析式为：35yx．【总结】考察两点代入法求一次函数解析式，即两点代入转而解二元一次方程组．例题解析3【例4】已知一次函数23317kkykx是一次函数，求实数k的值．【难度】★★【答案】2k．【解析】由一次函数的概念可知：10k，且2331kk，解得：1k或2k，又因为1k，所以2k．【总结】考察一次函数的基本概念，对于自变量一次的及自变量系数不为零同时要满足的理解．【例5】若()fx是一次函数，且[()]87ffxx，求()fx的解析式．【难度】★★★【答案】22221fxx或者22122fxx．【解析】设()(0)fxkxbk，由()87ffxx比较对应项系数可得方程2()()()ffxfkxbkkxbbkxkbb87x，可得28k，7kbb，解得：22k，221b；22k，122b．所以函数解析式为：22221fxx或者22122fxx．【总结】考查对一次函数的概念深化理解，对于自变量和变量转化的理解．自变量和变量之间的函数关系．【例6】若()fx是一次函数，且{[()]}4fffxx，（1）求(0)f的值；（2）若()fm=1，求m的值．【难度】★★★【答案】（1）4；（2）3．【解析】设()(0)fxkxbk，则2()()()ffxfkxbkkxbbkxkbb，因为2234fffxkkxkbbbkxkbkbbx，比较对应项系数可得：1k，4b，所以fx的解析式是4fxx．（1）所以0044f；（2）当1fm时，41m，故3m．【总结】考查对一次函数的概念的深化理解，自变量和变量之间的函数关系．41、一次函数的图像：一般地，一次函数ykxb（k，b是常数，且0k）的图像是一条直线．一次函数ykxb的图像也称为直线ykxb，这时，我们把一次函数的解析式ykxb称为这一直线的表达式．画一次函数ykxb的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．2、一次函数的截距：一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距，一般地，直线ykxb（0k）与y轴的交点坐标是(0)b，，直线ykxb（0k）的截距是b．3、一次函数图像的平移：一般地，一次函数ykxb（0b）的图像可由正比例函数ykx的图像平移得到．当0b时，向上平移b个单位；当0b时，向下平移b个单位．（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）4、直线位置关系：如果12bb，那么直线1ykxb与直线2ykxb平行．反过来，如果直线11ykxb与直线22ykxb平行，那么12kk，12bb．【例7】若一次函数2(3)(9)yaxa函数图像过原点，求a的值，并在坐标系中画出函数的图像．【难度】★【答案】6yx．【解析】一次函数2(3)(9)yaxa的图像过原点，即通过（0，0）点，且30a．把这点坐标代入解析式求解可得3a，所以解析式是6yx．【总结】一次函数的解析式与图像的关系，解析式中k不为0的前提条件，以及图像过原点的在解析式中的含义．例题解析知识精讲模块二：一次函数的图像5【例8】若一次函数ykxb，当x=2时，y=-1，且函数图像的截距为-3，求函数的解析式．【难度】★【答案】3yx．【解析】截距是-3，则3b，又因为过（2，-1）点，代入求解，得解析式为3yx．【总结】考查一次函数截距的意义，和待定系数法求一次函数解析式的方法．【例9】若一次函数y=-x+b的图像的截距是-4，求将这个一次函数向左平移2个单位后的函数解析式．【难度】★【答案】6yx．【解析】截距是-4，则4b，则解析式是-4yx，则平移后的解析式为：246yxx．【总结】考察一次函数截距的意义，及函数图像平移与解析式变化的关系，即“上加下减，左加右减”．【例10】将直线y=2x+1向右平移1个单位，相当于将直线y=2x+1向上平移了多少个单位?【难度】★★【答案】2个．【解析】一次函数21yx右移一个单位，解析式变为2(1)1221yxx，则相当于21yx向上平移2个单位．【总结】考察一次函数图像平移与函数解析式变化的关系，即“上加下减，左加右减”．【例11】已知一次函数的图像平行于直线y=23x，且当3x时，函数y的值是1，求这个函数解析式．【难度】★★【答案】233yx．【解析】设这个一次函数解析式为ykxb，由题易知23k，把点（-3，1）代入，可得3b．所以这个一次函数解析式为233yx．【总结】考察两条直线平行与一次函数解析式的关系，即两条直线平行，k相等．6【例12】若直线2(3)(21)ymxm与直线23yx平行，求m的值．【难度】★★【答案】1m．【解析】因为两条直线平行，所以可知k相等且b不相等，即232m，解得：1m；因为b不相等，所以1m．【总结】考察两条直线平行与一次函数解析式的关系，两条直线平行，即无交点，而重合是两条直线有无数个交点，所以两条直线平行的含义是k相等且b不相等．【例13】根据下列条件，求解相应的直线表达式．（1）直线经过（3，2）以及（1，1）；（2）直线经过（7，0）以及截距是14；（3）直线经过(30)，以及截距是2．【难度】★★【答案】（1）1122yx；（2）214yx；（3）223yx．【解析】（1）设直线的解析式为ykxb，把（3，2）和（1，1）代入，可得：12k，12b，所以直线的解析式为1122yx；（2）设直线的解析式为ykxb，截距是14，则14b，再把（7，0）代入，可得2k．所以直线的解析式为214yx；（3）设直线的解析式为ykxb，截距是2，则2b，再把（-3，0）代入，可得23k，所以直线的解析式为223yx．【总结】考察两点代入法求解一次函数解析式的方法及截距的含义，两点代入法求解一次函数的解析式可转化为求解二元一次方程，从而求出对应的kb和．【例14】直线2(13)(22)ykxk与已知直线21yx平行，且不经过第三象限，求k的值．【难度】★★【答案】1k．【解析】两条直线平行，则可知k相等，即2132k，可得：1k或1k，则截距为220k或224k．又因为图像不经过第三象限，所以舍去224k，即舍去1k，所以1k．【总结】考察一次函数的的基本概念以及kb和的符号与图像所过象限的关系．7【例15】设点P(3，m)，Q(n，2)都在函数y=x+b的图象上，求m+n的值．【难度】★★【答案】5．【解析】把点P(3，m)，Q(n，2)代入解析式y=x+b中，可得3,2bmnb，两式子相减，得32nm，整理得5mn．【总结】考察一次函数的应用，一次函数图像上的点的坐标都满足函数解析式．【例16】设一次函数ykxb的图像过点P（3，2），它与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA+BO=12时，求一次函数的解析式．【难度】★★【答案】28yx或133yx．【解析】由题易知，A点坐标为0bk，，B点坐标为0b，，且A、B两点都在x轴、y轴的正半轴上，所以()12bbk，又点P（3，2）在此函数图像上，代入可得32kb，两个式子联立求解，可得：23720kk，解得：2k或13，对应的8b或3．所以该一次函数的解析式为28yx或133yx．【总结】本题主要考查一次函数与两坐标轴的交点问题，注意分类讨论．【例17】已知一次函数21544myx与233myx的图像在第四象限内交于一点，求整数m的值．【难度】★★★【答案】1，0，1．【解析】将两个解析式联立求解可得：237mx，27my，所以交点坐标为2m3m-277，，因为交点在第四象限内，所以2320077mm，，解不等式得：322m，所以整数m的值为1，0，1．【总结】考查对两个一次函数的交点坐标问题，并且注意每个象限内的点的横纵坐标的符号特征．8【例18】已知两个一次函数144byx和212yxaa；（1）a、b为何值时，两函数的图像重合?（2）a、b满足什么关系时，两函数的图像相互平行?（3）a、b取何值时，两函数图像交于x轴上同一点，并求这一点的坐标．【难度】★★★【答案】（1）182ab，；（2）4ab且12a；（3）8b，0a，坐标为（2，0）．【解析】（1）由题可知，两个一次函数的比例系数和常数项都相等，即1244baa，，解得：182ab，；（2）两个一次函数的图像平行，则比例系数相等，常数不相等，所以14ba，即4ab，且12a；（3）两个一次函数的图像交于x轴上一点，即两个一次函数与x轴的交点重合，先分别求出与x轴的交点，令10y，得116xb，同理可得22x，由题可知12xx，162b，即8b，交点坐标为（-2，0）．【总结】主要考查两个一次函数图像的平行、重合的关系与区别以及两条直线交点的含义．【例19】（1）一次函数3yxb的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求b的值；（2）一次函数ykxb的图像与两坐标围成的三角形的面积是10，截距是5，求一次函数的解析式．【难度】★★★【答案】（1）122b；（2）154yx或154yx．【解析】（1）一次函数(0)ykxbk与两轴围成的三角