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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 函数基础2——函数的单调性、奇偶性、幂函数、二次函数
1函数的单调性(教师用)知能点全解:知能点一:函数单调性的定义1、图形描述:从函数2xy的图象(图1)看到:图象在y轴的右侧部分是从左向右连续上升的,也就是说,当x在区间[0,+)上取值时,随着x的增大,相应的y值也随着增大,即如果任取21,xx0,,得到1y=)(1xf,2y=)(2xf,那么当1x2x时,有1y2y。这时我们就说函数)(xf=2x在[0,+)上是增函数。图象在y轴的左侧部分是从左向右连续下降的,也就是说,当x在区间,0上取值时,随着x的增大,相应的y值反而随着减小,即如果任取21,xx,0,得到1y=)(1xf,2y=)(2xf,那么当1x2x时,有1y2y。这时我们就说函数)(xf=2x在(-,0)上是减函数.2、定量描述对于函数)(xf的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值21,xx,(1)若当1x2x时,都有)(1xf)(2xf,则说)(xf在区间D上是增函数;(2)若当1x2x时,都有)(1xf)(2xf,则说)(xf在区间D上是减函数。3、单调性与单调区间若函数y=)(xf在某个区间是增函数或减函数,则就说函数)(xf在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数)(xf的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。特别提醒:1、函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上不是增函数.例如函数2xy(图1),当x∈[0,+)时是增函数,当x∈(-,0)时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的,如图2。2、函数的单调区间是其定义域的子集;3、21,xx应是该区间内任意的两个实数,忽略需要任意取值这个条件,就不能保证函数是增函数(或减函数)。例1如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数)(xfy的图象,根据图象说出)(xfy的单调区间,以及在每一单调区间上,函数)(xfy是增函数还是减函数。解:函数)(xfy的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中)(xfy在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。知能点二:用定义证明函数的单调性531-2-5xOy2例2:证明函数3)(xxfxR是增函数。证明:设21,xx是R上的任意两个实数,且1x2x则)xxx)(xx(xxx)f(x)f(x22212121223121∵21xx∴021xx,又∵043)2(22221222121xxxxxxx,∴021)f(x)f(x即)f(x)f(x21∴3)(xxf在R上是增函数。例3:证明函数1fxxx在0,1上是减函数证明:设21,xx是0,1上的任意两个实数,且1x2x,则211212121212121212121212121111111xxfxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx∵121xx∴12121200-10xxxxxx∴12fxfx0所以函数1fxxx在0,1上是减函数。特别提醒:定义法证明函数在某个区间上是增(减)函数是最基本方法其步骤是:(1)取值,即设21,xx是区间上的任意两个实数,且1x2x;(2)作差变形,即12fxfx,并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形;(3)判断12fxfx的正负,当正负不确定时,可以分区间进行讨论,判断正负;(4)根据定义得出结论。及时演练:1、判断并证明下列函数的单调性(1)23)(xxfxR(2)()32fxxxR(3)()fxx(4)()fxx2、讨论下列函数的单调性,指出其单调区间并予以证明(1)1fxx(2)3fxx(3)223fxxx(4)232fxxx3、判断下列各函数在给定的单调区间上是增函数还是减函数(1)2,(0,)yxx(2)1,(1,0]1yxx(3)21yx),((4).1xxy),1(4、讨论函数322axxf(x)在(-2,2)内的单调性知能点三:判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论31、函数yfx与函数yfx的单调性相反2、当fx恒为正或恒为负时,函数1yfx与函数yfx的单调性相反3、在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数,减函数-增函数=减函数。例4:求函数20xafxax的单调区间。解:2xaafxxxx∵0a,ayx得单调递减区间是,0和0,,yx在R上单调递减∴函数20xafxax的单调区间是,0和0,。及时演练:1、下列函数中,在区间0,2上为增函数的是(B)A、3yxB、21yxC、1yxD、yx2、在,0上单调递减的函数是(A)A、1xyxB、21yxC、23yxD、22xx3、函数211xxyx的单调递减区间是1,2和2,。4、已知,fxgx定义在同一区间上,fx是增函数,gx是减函数,且0gx,则(B)A、fxgx为减函数B、fxgx为增函数C、fxgx为减函数D、fxgx为增函数5、223fxxx的单调减区间是3,4和30,4。6、二次函数2yaxbxc的递增区间为,2,则二次函数2ybxaxc的递减区间为1,8。7、已知函数222913fxxx,则使函数fx是减函数的区间是1,4。8、设fx是定义在区间U上的增函数,且0fx,则下列函数:①1yfx;②1yfx③2yfx;④yfx中,是减函数的有①②④(把序号填在横线上)。知能点四:复合函数单调性的判断对于函数)(ufy和)(xgu,如果)(xgu在区间),(ba上是具有单调性,当),(bax时,),(nmu,且)(ufy在区间),(nm上也具有单调性,则复合函数))((xgfy在区间),(ba具有单调性的规律见下表:4)(ufy),(nmu增↗减↘)(xgu),(bax增↗减↘增↗减↘))((xgfy),(bax增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”。例5:求函数xxy20042的单调递增区间.解:由020042xx,得0x或2004x∴函数的定义域是,20040,令22004uxx则yu易知函数uy在,0上是增函数,函数xxu20042的单调递增区间是1002,∵原函数的定义域为,20040,∴函数xxu20042的单调递增区间是2004,所以函数xxy20042的单调递增区间是.,2004拓展知识点:函数(0,0)byaxabx的单调性(1)单调增区间:bb,,,aa(2)单调减区间:bb0,,,0aa(3)图像的两条渐进线分别为0x和yax(4)图像如右:典型题型全解题型一:利用函数单调性比较函数值的大小例6:如果函数2fxxbxc,对任意实数t都有22ftft,比较1,2,4fff的大小。解:由题意知,fx得对称轴为2x,故13ff∵fx在2,上是增函数∴234fff,即214fff及时演练1、已知4,fxfxxR,当2x时,fx为增函数,设1,4,2afbfcf,则,,abc的大小关系为cba。2、若12,,0xx,且12xx,函数1fxx,则1fx与2fx的大小关系为12fxfx。3、函数2fxxpxq对任意x均有11fxfx,那么0,1,1fff的大小关系为101fff。题型二:利用函数单调性求参数的范围例7:已知2212fxxax在,4上是减函数,求实数a的取值范围。解:要是fx在,4上是减函数,由二次函数的图像可知,只要对称14xa即可,解得3a。及时演练:1、若函数ymxb在,上是增函数,则有(C)A、0bB、0bC、0mD、0m52、若22fxxax与1agxx在区间1,2上都是减函数,则a的取值范围是(D)A、1,00,1B、1,00,1C、0,1D、0,13、已知函数25yxax在1,上递增,则a的取值范围是2,。4、已知函数268,1,fxxxxa,并且fx的最小值为fa,则实数a的取值范围是1,3。5、函数2201fxxaxx的最大值是2a,那么实数a的取值范围为1,0。6、函数245fxxmx在区间2,上是增函数,则1f的取值范围是25,。题型三:利用函数单调性求函数的最值例8:(1)求函数1yxx的值域;(2)已知1,1Abb,对于函数21112fxx,若xA时,fxA,求b的值。解:(1)由010xx得,函数的定义域为1,,而函数yx和1yx在1,上都是增函数,则1yxx也是增函数,当1x时,它取得最小值,所以1yxx得最小值为1,即它的值域为1,。(2)函数21112fxx表示开口向上,顶点坐标1,1,对称轴1x的抛物线。因此,当1,xb时,fx是增函数∴当xb时,fx取最大值fb,而1,fbb,∴fbb,即21112bb。解得1,b或3b。∵1b,∴3b。及时演练:1、函数1yx在2,2上的最大值与最小值分别为3,0。2、已知函数24,1,5fxxxx,则这个函数的值域为4,5。题型四:函数单调性定义逆命题及其应用逆命题:已知函数yfx在定义域的某个区间上为增函数(减函数),若12xx,则12fxfx(12fxfx)例9:已知函数yfx在0,上是减函数,试比较34f与21faa的大小。解:221331244aaa∵yfx在0,上是减函数∴21faa34f及时演练:1、函数223fxxmx在2,上为增函数,在,2上为减函数,则m=-8。2、2221fxxaxa在,2上为增函数,在2,上为减函数,则2f=7。3、若函数yfx在R上单调递减,且21fmfm,则实数m的取值范围是,1。4、已知函数在区间,ab上具有单调性,且0fafb,则方程0fx在区间,ab上(D)A、至少有一实根B、至多有一实根C、没有实根D、必有唯一实根5、函数fx在,0和0,上递减,且220ff,则10fx的解集是6
本文标题:函数基础2——函数的单调性、奇偶性、幂函数、二次函数
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