二次根式的性质(例题+经典习题)(可编辑修改word版)

a2a225(7)2(12)2(5)2552425242(16)(25)16()()131351222427427abaa3aa316125二次根式的性质一．复习以前所学相关知识点：平方差公式：完全平方公式：同底数幂的乘法法则：幂的乘方法则：积的乘方法则：规定：（1）二次根式(a)2的性质2a2=a(a≥0)2122计算:(1)()=;(2)(32)=;(3)35=;(4)(32)122=;(5)23=;（6）a=_.aa0（2）二次根式的性质=|a|=aa01、计算:(1)=_(2)=(3)=(4)+（-）2=．（3）二次根式积的性质ab=ab(a≥0,b≥0)1、(1)169196=__;(2)423=_;(3)0.010.49=;2、下列运算正确的是（）(4)3252=_;A.=-=5-4=1B.=×25=-4×（-5）=205C．=1217+=D．=×=4131313（4）二次根式商的性质=(a≥0,b＞0)1、(1)=;(2)=;2、能使等式=成立的a的取值范围是.33、化简：(1)(2)4b527ab92529322722334050200900.512222220.0015827203127222142211244927x3y53.610596a3b61050.5a3b5（5）最简二次根式：①被开方数中不含分母。②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。.例1.化简：12.(分析：由于12是整数，在化简时应先将12分解为12=4×3=22×3.)解：原式=2.①当被开方数为整数时，应先对整数分解质因数，然后再开方【当堂练】：化简下列二次根式(1)=(2)=(3)=（4）=.例2.化简：.(分析：由于0.5是一个小数，因此在化简时，1解：原式=.先将0.5化成，然后再利用二次根式的性22质进行化简.)②当被开方数为分数时，应先进行★分母有理化【当堂练】：化简下列二次根式(1)=(2)=(3)=例3.化简：31.(分析：因为是带分数，不能直接进行开方运算，27解：原式=2.因此应先将带分数化为假分数后，2再根据二次根式的性质进行化简.)【当堂练】：化简下列二次根式(1)=(2)=③当被开方数是带分数时，应先化为假分数再进行开方.例4.化简：.(分析：由于27x3y5是一个单项式，因此应先将解：原式=3xy227x3y5分解为32x2(y2)23y的形式，然后再进行开方运算.)④当被开方数是单项式时，应先将被开方数写成平方的形式（即将单项式写成(am)2或(am)2·b的形式），然后再开方.【当堂练】：化简下列二次根式(1)=(2)(3)=（4）=类1：、被开方数为数字时3221221432x2(y2)23xy3xy类2：被开方数为时单项式时5z12x2y5z3y12x2y3y15yz(6xy)225a2b3121c4类3：被开方数为多项式时4x5y212x4y3切莫直接各自开方得2x2yx2x2y3y.)1212322504452302262102(8)2(2)21515a2b2b2a2a2b2b2a25z例5.化简：.分析：由于12x2y是一个分式，可根据分式的基本性质，5z解：原式=将12x2y的分子、分母同乘以3y，将分母转化为平方的形式，然后再进行开方运算。⑤当被开方数是分式时，应先将这个分式的分母化成平方的形式，然后再进行开方运算.【当堂练】：化简：a0，b0例1.化简：.(分析：由于4x5y212x4y3是一个多项式，因此解：原式=2x2yx3y应先将4x5y212x4y3分解因式后再开方，①当被开方数是多项式时，应先把它分解因式再开方.例2.化简：.(分析：观察被开方数的特点是两个数的平方的和的形式，解：原式=522一定不能直接各自开方得3然后再进行开方运算.)1122，而应先计算被开方数，②当被开方数为数和（或差）的形式时，应先计算出其和（或差），再进行开方.【当堂练】(1)=(2)=(3)=③当被开方数是分式的和（或差）的形式时，应先将它通分，然后再化简.例3.化简：11.分析：由于被开方数是11，是两个分a2b2解：原式=.式的和的形式，因此需先通分后再化简.ab【当堂练】化简：（x＜0）把根号外的因式移至根号内：类3：被开方数为分式时115yz6xy4x4y2(x3y)49144b2a2a2b22x11x2abab20a525a25anm2nm2nyyx2y1a1a1aaabbbaba5232132233315101a1a1a1a221a211a2（1）2（2）5（3）mnm0（4）xyx0（5）a分析：本题需逆用性质=（a≥0,b≥0)只能将根号外的正因式移至根号内。解：（1）25=4。（2）5=。（3）∵m≥0,∴m=。（4）∵xyx0∴x==。（5）∵成立，∴隐含a0,∴a===。★★分母有理化有两种方法：★把分母中的根号化去，叫做分母有理化I.分母是单项式：II.分母是多项式：abb1ab(b)(ab)aabb(利用平方差公式）例、把下列各式的分母有理化：（1）123；（2）；（3）20a1解：（1）（2）516452222（3）22221a2101a1aa练习：(1)(2)（x＜0）(3)(x≥y0);5a1ax2a2a21aab1a1a1a1a132222231a1a1a1a1a3503y20x3xy25(xy)21475073525abb11c2227233264xx24x4175例1：把下列各根式化为最简二次根式：34725a2b3（1）96aba0，b0（2）250（3）a121c40，b0解：（2）2475025a2b3（3）121c4a0，b0练习：1、把化成最简二次根式，结果为：()A.B．C．D．9992、下列根式中，最简二次根式为：()A．B．C．D．同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式。例2：判断下列根式是否是同类根式：（1）175；分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。解：（1）57；493252732752210625a2b2·b121c43(x4)23152163；85342573151663162343342497342m62m34，37；4773175，2853是同类二次根式34练习：1.若与是同类二次根式，则m=。2.最简二次根式xyxy1与是同类根式，则x=_，y=3.若a+b4b与3a＋b是同类二次根式，则a=，b=。9716234853315163x2y5