向量奔驰定理应用

向量奔驰定理应用知识梳理第一部分知识梳理——1定理,,,,,,ABCOABCBOCAOCAOBSSS设是内一点的面积分别是0ABCSOASOBSOC求证：OABC•••,::0,::OABCxyzxyzABCOAOBOCSSS是内一点且则ASCSBS知识梳理——2证明（方法一）AOBCD证明：延长交于点DOABCBCCODACDBODABDCODBODACDBDSSDCBDSSSSSSSSAODBCDCOBBCBDOCCBBSSSOBCBCSSSOCAAABCBCODODDAOASSSSSABCSSSODOAABCSSSOACBBSSSOBCBCSSSOC0OCSOBSOASCBA知识梳理——2证明（方法二）,,11||||sin||||sin221||||sin21||||||(sinsin2||ABCBOCCOAAOBSOASOBSOCOBOCOAOAOCOBOAOBOCOAOOAOBOCOAuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur证：设111sin)||||1||||||(sinsinsin)2BOCOBOCOAOBOCOAOBOCuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuurOxy1A1B1C1OA1OB1OCO知识梳理——3推论由此定理可得三角形四心向量式(1)OABC是的重心::1:1:1BACSSS0OCOBOA(2)OABC是的内心::::BACSSSabc0OCOBOAcbaOO知识梳理——3推论由此定理可得三角形四心向量式(3)OABC是的外心::sin2:sin2:sin2BACSSSABC02sin2sin2sinOCCOBBOAA22211sinsin2221sin221sin22ABCOSOBOCBOCRASRBSRC是外心O知识梳理——3推论由此定理可得三角形四心向量式(4)OABC是的垂心::tan:tan:tanBACSSSABC0tantantanOCCOBBOAA,::tantantantan:BCADADBDCDOBCBCCDBDSS证明：是垂心:tan:tanABABSS同理::tan:tan:tanBACSSSABCOD知识梳理——4结论推广•••,::0,(,,,0,0)::OABCxyzxyzABCOAOBOCxyzRxyzxyzSSS一般的，设是所在平面内一点且满足则知识梳理奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一典型例题第二部分例题1•••,56sin40sin35sin0,GABCABCBGAGBGC例1.已知是的重心且满足求56sin:40sin:35sin1:1:1sin:sin:sin5:7:80GABCABCGAGBGC解：是重心，::sin:sin:sin5:7:8abcABC由正弦定理，2222225871cos22582acbBac由余弦定理，(0,),3BB例题1要牢记，前面的系数之比为1:1:1OABC是的重心0OCOBOA点评：关于三角形重心的结论,,OAOBOC例题11232BCDACDDABCADABACSS例、已知是所在平面内一点，且，则111,3211,231612ABDABCACDABCBCDABCBCDACDABABACACADABACSSSSSSSS解法：设，则，易得ABCBCD例题11232BCDACDDABCADABACSS例、已知是所在平面内一点，且，则21111()()032321110632116123BCDACDADABACDBDADCDADADADBDCSS解法：由向量奔驰定理例题20xOAyOBzOCO点评：审题时要注意看清条件中向量等式的结构形式，结论中向量都是以为起点的向量，若条件中不满足此结构形式，则需要先化成该形式才能使用结论。专题总结第三部分专题总结1、一定理，四推论2、奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一