【推荐】2019高中数学第三章导数及其应用.变化率问题3..导数的概念学案含解析选修77

13．1.1&3.1.2变化率问题导数的概念平均变化率[提出问题]假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量Δx，Δy分别是多少？提示：自变量x的改变量为Δx＝x2－x1，函数值的改变量为Δy＝y2－y1.问题2：Δy的大小能否判断山路的陡峭程度？提示：不能．问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？提示：对山坡AB来说，ΔyΔx＝y2－y1x2－x1可近似地刻画．问题4：能用ΔyΔx刻画山路陡峭程度的原因是什么？提示：因ΔyΔx表示A，B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比ΔyΔx越大，山路越陡；反之，山路越缓．问题5：从点A到点B和从点A到点C，两者的ΔyΔx相同吗？提示：不相同．[导入新知]函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从2f(x1)变为f(x2)，我们把式子fx2－fx1x2－x1称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2.类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为ΔyΔx.[化解疑难]1．正确理解增量Δx与ΔyΔx是自变量x在x0处的改变量，不是Δ与x的乘积，Δx的值可正，可负，但不能为0.Δy是函数值的改变量，可正，可负，也可以是0.函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f(x)没有变化．2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率的大小可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度.导数的概念[提出问题]一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间．问题1：试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．提示：ΔsΔt＝8－＋Δt2－8＋3×12Δt＝－6－3Δt.问题2：当Δt趋近于0时，“问题1”中的平均速度趋近于什么？如何理解这一速度？提示：当Δt趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．[导入新知]1．瞬时速度的概念物体在某一时刻的速度称为瞬时速度：设物体运动的路程与时间的关系是s＝s(t)，当Δt趋近于0时，函数s(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率st0＋Δt－st0Δt趋近于一个常数，把这个常数称为瞬时速度．2．导数的定义函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率：limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，3记作f′(x0)或y′|0xx＝x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.[化解疑难]导数概念的理解(1)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0处及其附近的函数值有关，与Δx无关．(2)f′(x0)是一个常数，即当Δx→0时，存在一个常数与fx0＋Δx－fx0Δx无限接近．求函数的平均变化率[例1]求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．[解]函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为fx0＋Δx－fx0x0＋Δx－x0＝x0＋Δx2＋2]－x20＋Δx＝6x0·Δx＋x2Δx＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.[类题通法]求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy.求平均变化率的主要步骤是：(1)计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1.[活学活用]已知函数f(x)＝x＋1x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．4解析：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f－f2－1＝2＋12－＋1＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f－f5－3＝5＋15－＋132＝1415.因为12＜1415，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.求函数在某点处的导数[例2]根据导数的定义求下列函数的导数．(1)求函数y＝x2＋3在x＝1处的导数；(2)求函数y＝1x在x＝a(a≠0)处的导数．[解](1)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋3]－(12＋3)＝2Δx＋(Δx)2，∴ΔyΔx＝2Δx＋x2Δx＝2＋Δx.∴y′|x＝1＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.(2)Δy＝f(a＋Δx)－f(a)＝1a＋Δx－1a＝a－a＋Δxaa＋Δx＝－Δxaa＋Δx，∴ΔyΔx＝－Δxaa＋Δx·1Δx＝－1aa＋Δx.∴y′|x＝a＝limΔx→0－1aa＋Δx＝－1a2.[类题通法]求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤5[活学活用]已知函数y＝f(x)＝ax2＋c且f′(1)＝2，求a的值．解：f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f＋Δx－fΔx＝limΔx→0a＋Δx2＋c－a－cΔx＝limΔx→02a·Δx＋ax2Δx＝limΔx→0(2a＋a·Δx)＝2a＝2.∴a＝1，即a的值为1.求瞬时速度[例3]若一物体的运动方程为s＝29＋t－2，0≤t＜3，3t2＋2，t≥3(路程单位：m，时间单位：s)．求：(1)物体在t＝3s到t＝5s这段时间内的平均速度；(2)物体在t＝1s时的瞬时速度．[解](1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3s到t＝5s这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/s)．(2)因为Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以ΔsΔt＝t2－12ΔtΔt＝3Δt－12，则物体在t＝1s时的瞬时速度为s′(1)＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3Δt－12)＝－12(m/s)．[类题通法]6求瞬时速度的步骤(1)求位移增量，Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；(2)求平均速度，v－＝ΔsΔt；(3)取极限，limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0st0＋Δt－st0Δt；(4)若极限存在，则t0时刻的瞬时速度为v＝limΔt→0ΔsΔt.[活学活用]一质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．解：因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以ΔsΔt＝4a＋aΔt.故在t＝2s时，瞬时速度为s′(2)＝limΔt→0ΔsΔt＝4a(m/s)．由题意知，4a＝8，所以a＝2.6.导数的概念理解不明[典例]已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δx＝________.[解析]limΔx→0fx0＋2Δx－fx0Δx＝limΔx→0fx0＋2Δx－fx02Δx×2＝2limΔx→0fx0＋2Δx－fx02Δx＝2f′(x0)＝2×4＝8.[答案]8[易错防范]1．本题中x的增量是2Δx，即(x0＋2Δx)－x0＝2Δx，而分母为Δx，两者不同，若忽7视这一点，则易得出结论为4的错误答案．2．在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．[成功破障]求limΔx→0fx－Δx－fxΔx.解：令－Δx＝h，则limΔx→0fx－Δx－fxΔx＝limh→0fx＋h－fx－h＝－limh→0fx＋h－fxh＝－f′(x)．[随堂即时演练]1．已知函数y＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则ΔyΔx等于()A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2解析：选CΔyΔx＝＋Δx2－1－1Δx＝4＋2Δx.2．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a的值为()A．－3B．2C．3D．－2解析：选C根据平均变化率的定义，可知ΔyΔx＝a＋b－a＋b2－1＝a＝3.3．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.解析：ΔsΔt＝t0＋Δt2＋8－t20＋Δt＝7Δt＋14t0，当limΔt→0(7Δt＋14t0)＝1时，t0＝114.答案：11484．已知曲线y＝1x－1上两点A2，－12，B2＋Δx，－12＋Δy，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．解析：∵Δx＝1,2＋Δx＝3，∴Δy＝13－1－12－1＝－23＋12＝－16.kAB＝ΔyΔx＝－16.答案：－165．求y＝f(x)＝2x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为fx0＋Δx－fx0Δx＝x0＋Δx2＋1]－x20＋Δx＝4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝12时，平均变化率的值为4×1＋2×12＝5.[课时达标检测]一、选择题1．当自变量从x1变到x2时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A．在区间[x1，x2]上的平均变化率B．在x1处的变化率C．在x2处的变化量D．在区间[x1，x2]上的导数解析：选A平均变化率是指函数值的变化量与相应自变量的变化量之比．2．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间[3,3＋Δt]中，相应的平均速度等于()A．6＋ΔtB．6＋Δt＋9Δt9C．3＋ΔtD．9＋Δt解析：选Av－＝ΔsΔt＝＋Δt2＋3]－2＋Δt＝6Δt＋t2Δt＝6＋Δt.3．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()A．6B．18C．54D．81解析：选Bv＝limΔt→0s＋Δt－sΔt＝limΔt→0＋Δt2－27Δt＝limΔt→018Δt＋t2Δt＝18.4．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．不确定解析：选Dk1＝fx0＋Δx－fx0Δx＝x0＋Δx2－x20Δx＝2x0＋Δx，k2＝fx0－fx0－ΔxΔx＝x20－x0－Δx2Δx＝2x0－Δx.因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小不确定．5．设函数在x＝1处存在导数，则limΔx→0f＋Δx－f3Δx＝()A．f′(1)B．3f′(1)C.13f′(1)D．f′(3)解析：选ClimΔx→0f＋Δx－f3Δx10＝13limΔx→0f＋Δx－fΔx＝13f′(1)．二、填空题6．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为28π3，则m的值为________．解析：∵ΔV＝4π3m3－4π3×13＝4π3(m3－1)，∴ΔVΔR＝4π3m3－m－1＝28π3，即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去)．答案：27．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析：由函数f(x)的图象知，f(x)＝x＋32，－1≤x≤1，x＋1，1x≤3.所以，函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f－f2－0＝3－322＝34.答案：34