数学选修课-第3节-盈亏问题（教案）

第3讲盈亏问题【本讲要点】盈就是多余，亏就是不够、不足的意思。人们在分东西、购物时经常会遇到剩余或不足。这类在解答分配过程中出现剩余或不足问题的应用题就叫做盈亏问题。盈亏问题大多有这样的情境：把一定数量物品平均分配给若干人，在两次分配中由于方案的不同，一次有余，一次不足，求被分配的物品总量和参加分配的总人数。或者是用一定数量的钱，去购买一定单价的物品，两次购买中，由于购物的数量不同，一次钱有余，一次钱不够，求购物的总钱数和所购物品的单价。【例题分析】例1：王阿姨给幼儿园的小朋友分糖果，若每人分4块，则多出12块；若每人分6块，则少6块。问班里有多少个小朋友？王阿姨拿了多少块糖果？分析解答：由题意可知，小朋友的人数与糖果的块数是不变的，比较两种分配方案，第一种每人4块就多12块，第二种每人6块就少6块。两种不同的方案，一多一少相差12+6=18（块），这是为什么呢？相差的原因在于两种分配方案的分配数不同。第一种方案每人分4块，第二种方案每人6块，两次分配数之差为6-4=2（块）。每人相差2块，结果相差了18块，说明小朋友的人数为：18÷2=9（人）小朋友的人数：（12+6）÷（6-4）=9（人）糖果的数量：4×9+12=48（块）答：有9个小朋友，共有48块糖果。例2：李阿姨给小朋友们分饼干，如果每人分5块，那么多13块，如果每人分8块，那么恰有1人没有分到饼干。问共有多少个小朋友？李阿姨共有多少块饼干？分析解答：两种分配方案的结果相差：13+8=21（块），每人分配到的饼干数相差：8-5=3（块），这样就可以求出分配的人数是21÷3=7（人）。小朋友的人数：（13+8）÷（8-5）=7（人）饼干的数量：5×7+13=48（块）答：有7个小朋友，共有48块饼干。例3：用绳子测水井的深度，绳子两折时多余90厘米，绳子三折时，还差60厘米。求绳子和水井的深度？分析解答：这题不同于一般用绳子丈量物体，是将绳子折成二折、三折去量，所以要将二折或三折量的多余的厘米或相差的厘米按一折时情况来算。所以绳子二折时，绳子多余长度是90×2=180（厘米）；绳子三折时，绳子不够长度为60×3=180（厘米）。水井的深度为：（90×2+60×3）÷（3-2）=360（厘米）绳子的长度为：（360+90）×2=900（厘米）答：水井深度为360厘米，绳子的长度为900厘米。【学习贴士】求解盈亏问题的思路是先把两次分配的情况进行比较，得到盈数与亏数的差，这种“差”产生的原因是两次分配的“每份数”不同，结果是盈数与亏数差，这个因果关系就是列式计算的依据。求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差盈亏总额=盈数+亏数【练习检测】看看你能得到几颗☆!小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友？有多少粒糖果？某校安排新生宿舍，如果每间住12人，就会有34人没有宿舍住；如☆22☆1果每间住14人，就会空出4间宿舍。这个学校有多少间宿舍？要安排多少个新生？体育老师和一个朋友一起上街买足球。他发现自己身边的钱，如果买10个“冠军”牌足球，还差42元；后来他向朋友借了1000元，买了31个“冠军”牌足球，结果多了13元。体育老师原来身边有多少元？4.全班同学去划船，如果减少一条船，那么每条船正好坐9人；如果增加一条船，那么每条船正好坐6人。全班有多少人？小李拿一根绳子在一个圆柱上绕，绕了2圈时绳子还余2.86米，但要绕5圈还差1.85米。问：绳子有多长？圆柱的周长是多少？将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友，如果每人分3粒，就会余下糖果17粒；如果每人分5粒，就会缺少糖果13粒。问：幼儿园小班有多少个小朋友？这些糖果共有多少粒？☆☆4☆32☆☆5☆☆6学生搬一批砖，每人搬4块，其中5人要搬两次；如果每人搬5块，就有两人没有砖可搬。搬砖的学生有多少人？这批砖共有多少块？某校在植树活动中，把一批树苗分给各班，如果每班分18棵，就会余下24棵；如果每班分20棵，正好分完。这个学校有多少个班？这批树苗共有多少棵？☆☆7☆☆☆8