函数的定义域及函数值

[键入文字]1课题函数的概念教学目标理解函数的概念重点、难点会求函数的定义域及函数值考点及考试要求对函数的概念必须有深刻的理解教学内容【教学目的】1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域；3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号；4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。【教学重点】在对应的基础上理解函数的概念【教学难点】函数概念的理解【教学过程】一、复习引入〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。〖提问〗问题1：y=1（x∈R）是函数吗？问题2：y=x与y=xx2是同一函数吗？〖投影〗观察对应：[键入文字]2〖分析〗观察分析集合A与B之间的元素有什么对应关系？二、讲授新课函数的概念（一）函数与映射〖投影〗函数：设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=)(xf，x∈A。其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数y=)(xf的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{)(xf|x∈A}，叫做函数y=)(xf的值域。函数符号y=)(xf表示“y是x的函数”，有时简记作函数)(xf。函数的三要素：对应法则f、定义域A、值域{)(xf|x∈A}注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。映射：设,AB是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应:fAB为从集合A到集合B的一个映射.如果集合A中的元素x对应集合B中元素y,那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象,集合B中元素y叫合A中的元素x的象.映射概念的理解(1)映射BAf:包含三个要素:原像集合A,像集合B(或B的子集)以及从集合A到集合B的对应法则f.两个集合A,B可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有:(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的;(2)任意性:集合A中的任意一个元素都有像,但不要求B中的每一个元素都有原像;(3)唯一性:集合A中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”.[键入文字]3函数与映射的关系函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.映射BAf:函数ByAxxfy,),(集合A,B可为任何集合,其元素可以是物,人,数等函数的定义域和值域均为非空的数集对于集合A中任一元素a,在集合B中都有唯一确定的像对函数的定义域中每一个x,值域中都有唯一确定的值与之对应对集合B中任一元素b,在集合A中不一定有原像对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应函数是特殊的映射,映射是函数的推广.〖注意〗（1）函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应f：A→B。这里A，B为非空的数集。（2）A：定义域，原象的集合；{)(xf|x∈A}：值域，象的集合，其中{)(xf|x∈A}B；f：对应法则，x∈A，y∈B（3）函数符号：y=)(xf，y是x的函数，简记)(xf〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域：1、一次函数)(xf=ax＋b(a≠0)：定义域R，值域R2、反比例函数)(xf=xk(k≠0)：定义域{x|x≠0}，值域{y|y≠0}3、二次函数)(xf=ax2＋bx＋c(a≠0)：定义域R，值域：当a＞0时，｛y|y≥abac442｝；当a＜0时，｛y|y≤abac442｝。（三）函数的值：关于函数值)(af例析：若)(xf=x2＋3x＋1，求)2(f。解：)2(f=22＋3×2＋1=11〖注意〗（1）在y=)(xf中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样；（2）)(xf不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”；[键入文字]4（3）)(xf与)(af是不同的，前者为变数，后者为常数，)(af是)(xf的一个特殊值。（四）区间的概念〖投影〗设a、b是两个实数，而且a＜b，我们规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；（3）满足不等式a≤x＜b或者a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为),[ba、],(ba；（4）实数集R可以用区间表示为（－∞,＋∞）；满足不等式x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合可以分别表示为[a,＋∞)，（a,＋∞），（－∞,b]，（－∞,b）。〖注意〗注意集合与区间之间的关系：区间是数集，表示区间端点的两个实数不能相等，但数集中不等式两端的两个实数可以相等，如a≤x≤a。三、实例提升〖例析〗例1、设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，从M到N有4种对应如下图所示：其中能表示为M到N的函数关系的有②③。〖解析〗根据对应的含义和函数的概念，可以看出②③能表示M到N的函数关系。〖例析〗例2、求下列函数的定义域：①21)(xxf；②)(xf=23x；③)(xf=1x＋x21〖解析〗函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=)(xf，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合。解：①∵x－2=0，即x=2时，分式21x无意义，而x≠2时，分式21x有意义[键入文字]5∴这个函数的定义域是{x|x≠2}。②∵3x＋20，即x＜32时，根式23x无意义而3x＋2≥0，即x≥32时，根式23x才有意义∴这个函数的定义域是{x|x≥32}。③∵当x＋1≥0且2－x≠0，即x≥－1且x≠2时，根式1x和分式x21同时有意义∴这个函数的定义域是{x|x≥－1且x≠2}另解：要使函数有意义，必须：x＋1≥0且2－x≠0x≥－1且x≠2∴这个函数的定义域是：{x|x≥－1且x≠2}〖强调〗解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义。由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域。求函数的定义域的常见类型：（1）当)(xf为整式时，定义域为R；（2）当)(xf为分式时，定义域为使分母不为0的x的集合；（3）当)(xf为n次根式中的偶次根式时，定义域为使被开方式非负的x的集合；（4）当)(xf是由几个式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x的取值的集合。〖例析〗例3、已知函数)(xf=3x2－5x＋2，求)3(f，)2(f，)1(af。〖解析〗解：f(3)=3×32－5×3＋2=14；)2(f=3×(－2)2－5×(－2)＋2=8＋52；)1(af=3(a＋1)2－5(a＋1)+2=3a2＋a。〖例析〗例4、下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？（1）2)(xy；（2）33xy；（3）2xy〖解析〗解：（1）y=x，x≥0，y≥0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数；（2）y=x，x∈R，y∈R，定义域值域都相同，是同一个函数；[键入文字]6（3）y=|x|=)0()0(xxxx，y≥0；值域不同，不是同一个函数。〖例析〗例5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（1）3)5)(3(1xxxy52xy（定义域不同）（2）111xxy)1)(1(2xxy（定义域不同）（3）21)52()(xxf52)(2xxf（定义域、值域都不同）〖注意〗两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。四、演练反馈1、函数)13lg(13)(2xxxxf的定义域是（）A．),31(B．)1,31(C．)31,31(D．)31,(2、下列各组，函数)(xf与)(xg表示同一个函数的是（）A．)(xf=1，)(xg=x0B．)(xf=x0，)(xg=xx2C．)(xf=x2，)(xg=4)(xD．)(xf=x3，)(xg=93)(x3、已知函数)(xf=2x－3，求：（1）)0(f，)2(f，)5(f；（2）)]([xff；（3）若x∈{0，1，2，3}，求函数的值域。4、若}4,3,2,1{A，},,{cbaB，,,abcR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个[键入文字]7演练反馈答案：1、B2、D3、（1）)0(f=－3，)2(f=1，)5(f=7；（2）)]([xff=4x－9；（3）值域为{－3，－1，1，3}4、81,64,81五、课堂小结本节课学习了以下内容：函数是一种特殊的对应f：A→B，其中集合A，B必须是非空的数集；)(xfy表示y是x的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；)(af表示)(xf在x=a时的函数值，是常量；而)(xf是x的函数，通常是变量。【教后札记】本节的教学重点是在对应的基础上来理解函数的概念，主要包括函数的概念、三要素的理解，难点是函数定义和函数符号的认识与使用。由于学生在初中已学习了函数的传统定义，并学习了几类简单的函数，所以在高中重新定义函数时，学生并不陌生，重要的是让学生认识到它的优越性，从根本上揭示了函数的本质——由定义域、值域、对应法则三要素构成的整体，通过例题解析让学生充分理解函数的概念。[键入文字]8〖板书〗函数的概念（一）函数与映射函数的三要素：对应法则f、定义域A、值域{)(xf|x∈A}注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。（二）已学函数的定义域和值域：1、一次函数)(xf=ax＋b(a≠0)：定义域R，值域R2、反比例函数)(xf=xk(k≠0)：定义域{x|x≠0}，值域{y|y≠0}3、二次函数)(xf=ax2＋bx＋c(a≠0)：定义域R，值域：当a＞0时，｛y|y≥abac442｝；当a＜0时，｛y|y≤abac442｝。〖板书〗（三）函数的值：关于函数值)(af例析：若)(xf=x2＋3x＋1，求)2(f。解：)2(f=22＋3×2＋1=11〖板书〗（四）区间的概念（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；（2）满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；（3）满足不等式a≤x＜b或者a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为),[ba、],(ba；（4）实数集R可以用区间表示为（－∞,＋∞）；满足不等式x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合可以分别表示为[a,＋∞)，（a,＋∞），（－∞,b]，（－∞,b）。