现代数字信号处理学习报告(一)

现代数字信号处理学习报告（一）第一部分维纳滤波1.1最优滤波和最有准则1.1.1最优滤波信号处理的目的是从噪声中提取信号，得到不受干扰影响的真正信号。采用的处理系统称为滤波器。为了从x(n)中提取或恢复原始信号s(n)，需要设计一种滤波器，对x(n)进行滤波，使它的输出y(n)尽可能逼近s(n)，成为s(n)的最佳估计，即ˆy(n)s(n)。这种滤波器称为最佳滤波器。1.1.2最优准则最大输出信噪比准则－匹配滤波器最小均方误差准则误差绝对值的期望值最小误差绝对值的三次或高次幂的期望值最小1.2维纳滤波维纳滤波（wienerfiltering)是一种基于最小均方误差准则、对平稳过程的最优估计器。这种滤波器的输出与期望输出之间的均方误差为最小，因此，它是一个最佳滤波系统。它可用于提取被平稳噪声所污染的信号。2min[|()|]Eenmin[|()|]Eenmin[|()|]kEen1.3维纳滤波的标准方程维纳滤波器是一个线性非移变系统，设其冲激响应为h(m)，输入为()()()xnsnn，则有0ˆ()()()()mynsnhmxnm。式中，冲激响应h(m)按最小均方误差准则确定，其中，e(n)表示真值与估计值之间的误差，则ˆ()()()ensnsn。为了达到最小均方误差准则的目标，即求得使2ˆEss最小的ih，令2ˆEss对ih的导数为零，即2(n)(n)2(n)2(n)(n)0()()EeeEeEexihihi由此得到，(n)(n)0,Eexii。此式说明，若使滤波器的均方误差达到，则误差信号与输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。正交性原理的重要意义：提供了一个数学方法，用以判断线性滤波系统是否工作于最佳状态。正交性原理的引理：最佳状态时，由滤波器输出定义的期望响应的估计yopt(n)与估计误差eopt(n)正交。将正交方程展开，0-()()()()00ptmEsnhmxnmxnkk，把2min[|()|]Een0sx1sseˆsˆw2x2x2w1x1输入信号分配进去，得到-()()(),k0sxoptxxmkhmkm，该方程即为维纳滤波器的标准方程或维纳-霍夫（Wiener-Hopf）方程。1.4FIR维纳滤波器设h(n)是一个因果序列可以用有限长(长度为N)的序列去逼近它把i的值代入方程组，则得到1112112122221212121212NNNNNNNxxxxNxxxsxxxxNxxxsxxxxNxxxsihhhihhhiNhhh定义12Nhhhh1112121222212NNXXXxxxxxxxxxxxxxxNxNxNN12Nxsxsxsxs则得到方程组的矩阵形式为xxxsh。对这个式子求逆，得10xxxspthh在所有FIR滤波器中，最优滤波器的均方误差值是最小的，从这个意义上说，它是最优的。滤波器的阶数越高，采用的已知信息就越多，它的最小均方误差就越小，但相应的计算量也越大。NiiiNmxhnsmnxmhnsny110)(ˆ)()()(ˆ)(0,,2,1,01iiNiiiexENixxhsE1.5非因果IIR维纳滤波器非因果IIR维纳滤波器的维纳-霍夫方程为利用双边z变换求解方程，得到设()()()xnsnn，且其中的()()snn与不相关，即()=0sm，则()()()()()()()()()+()=()()()()sxsssssxxssmExnsnmEsnnsnmEsnsnmmmmzzz()()()()ssoptsszHzzz将jze代入上式，得非因果的维纳滤波器的频率特性为()()()()()()()jjssssoptjjxsssePHeeePP即，已知互功率谱和自功率谱，可利用上式求得非因果IIR维纳滤波器的传输函数，而且是一个有理函数。由上式可知：当噪声为0时，Hopt=1，信号全部通过；当信号为0时，Hopt=0，噪声全部被抑制掉；当即有信号又有噪声时，Hopt1，大小随Pvv的增加而减小，从而达到降低噪声影响的目的。,)()()(mkmhkxxmsx)()()(zzzHxxsxopt非因IIR果维纳滤波器的传输函数的幅频特性1.6因果IIR维纳滤波器对于因果IIR维纳滤波器，其维纳－霍夫方程为0()()(),sxxxmkhmkm因为存在k≥0的约束，使得上式不能直接转到Z域求解。如有可能将其转化为非因果问题，则求解会大大简化。如果滤波器的输入是白噪声，即x(n)=w(n)，w(n)是方差为的白噪声，则因果IIR维纳滤波器的维纳－霍夫方程变为220()()(k-m)h(k)smkhm则很容易解出，2()/,0()0,0snnhnnHopt(ej)PSS(ej)Pvv(ej)02w对应的传输函数为21()()sHzz这里()sz表示只取()sz在单位圆内的极点或只取()sk的因果部分。任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一个白色噪声激励一个物理网络所形成。一般信号s(n)的功率谱密度是z的有理分式，故s(n)的信号模型可用图表示，其中A(z)表示信号s(n)的形成网络的传递函数。将x(n)通过1/B(z)，则可“白化”输出，再用因果IIR维纳滤波器G(z)对进行滤波，即，可以把因果IIR维纳滤波器看成有两部分1/B(z)和G(z)级联而成，则2()()1()()szGzHzBzBz。示意图如下：)(1zB(b)H(z)x(n)=s(n)+υ(n))(ˆ)(nsnyx(x(n)(a))(nG(z))(ˆ)(nsnyx(因为1()()()sxszBzz，所以1()()()sxszzBz，由此221()11()()()()sxszHzzBzBzBz因果维纳滤波器设计的一般方法：(1)根据观测信号x(n)的功率谱求出它所对应信号模型的传输函)(n)(zss)(n)(n数，即采用谱分解的方法得到B(z)，Sxx(z)=σ2wB(z)B(z-1)。(2)求的Z反变换，取其因果部分再做Z变换，即舍掉单位圆外的极点，得(3)积分曲线取单位圆，计算Hopt(z),E［|e(n)|2］min。1.7小结·维纳滤波器的应用——互补维纳滤波器·维纳滤波存在的问题①适用于平稳随机信号的最佳滤波；②维纳滤波器的参数是固定的；③必须已知信号和噪声的有关统计特性。)()(1zBzSxs)()(1zBzSxs第二部分自适应滤波2.1自适应滤波利用前一时刻已获得的滤波器参数等结果，自动地调节现时刻的滤波器参数，以适应信号与噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。2.2自适应滤波原理自适应滤波器H(z)的系数根据误差信号，通过一定的自适应算法，不断地进行改变，使输出y(n)最接近期望信号d(n)。实际中，d(n)要根据具体情况进行选取。自适应滤波原理图2.3自适应线性组合器多输入情况H(z)y(n)x(n)d(n)e(n)＋－e(n)=d(n)-y(n)TLnxnxnxnx)]()()([)(10单输入情况0()()()Lkkynwnxnk自适应线性组合器的L+1个权系数构成一个权系数矢量，称为权矢量，用()wn表示，即01()[()()()]TLwnwnwnwn。这样，以上两种情况就可以统一表示为()()()=()()TTynxnwnwnxn。根据MMSE准则，需要误差信号()()()()()()Tendnyndnwnxn均方误差最小。2.4均方误差性能曲面将均方误差展开，则得到2(){()}(){()()}()2{()()}()TTTnEdnwnExnxnwnEdnxnwn令()()TRxnxn，{()()}PEdnxn，得到2(){()}2TTnEdnwRwPw在输入信号和参考响应都是平稳随机信号的情况下，均方误差是权矢量的各分量的二次函数。均方误差的函数图形是L+2维空间中的一个Lkkknxnwny0)()()(TLnxnxnxnx)]()1()([)(中间下凹的超抛物面，有唯一的最低点，该曲面称为均方误差性能曲面，简称性能曲面。误差性能曲面的梯度用表示22RwPw代入展开式，最小均方误差点对应梯度为零，220RwP。对应的权矢量称为最佳权矢量或维纳解，1wRP。将解代入展开式，得到最小均方误差212(){()}{()}TTnEdnPRPEdnPw。是w的二次型，在ww处有唯一的最小值，故可得**min()()()TnwwRww。若*()ww。上式可写成min()TnR2.5二次性能曲面的基本性质只有两个权系数0w和1w的自适应线性组合器，此时的图像如图。等均方误差线或者等高线方程为，若将原点平移至**01ww（，），则等高线方程为TR常数。2.6最陡下降法采用最优化的数学算法－最陡下降法（SteepestDescentMethod），搜索性能函数表面寻找最佳权系数。最陡下降法就是沿性能曲面最陡常数wPRwwTT2方向向下搜索曲面的最低点。曲面的最陡下降方向是曲面的负梯度方向。这是一个迭代的过程。最陡下降法迭代计算权矢量的公式为(1)()(-())wnwnn。式中，是控制搜索步长的参数称为自适应增益常数或收敛参数；曲面上各点的梯度不同，因此，梯度加有时间指标n。将梯度公式代入得到，(1)()2(()-)wnwnRwnP*()2(()-)wnRwnw*[2]()2IRwnRw即可求得权矢量随迭代次数变化的函数关系。(1)nw→()nw，()(1)()nnww校正项用误差控制，此时，利用梯度下降算法得到()(1)()()nnnJnww，真实梯度中包含数学期望，不易求得，可以利用估计梯度求解ˆ()(1)()(1)nnnJnww。2.7自适应的最小均方（LMS）算法2.7.1算法原理LMS算法由Widrow等人提出，采用梯度的估计值代替梯度的精确值。LMS算法最核心的思想是用平方误差代替均方误差。此时，2e()()ˆ(n)2()2()()nenenenxnww，得到LMS算法的基本关系式ˆ(1)()(())w(n)2()()wnwnnenxn，该式说明，LMS算法实际上是在每次迭代中使用很粗略的梯度估计值来代替精确值。LMS算法加权矢量是在最陡下降法加权矢量附近随机变化的，其统计平均值等于最陡下降法的加权矢量。2.7.2算法收敛性对梯度的估计值求数学期望，得到ˆˆ(n)2()()2()()()()2()(n)TEEenxnExnxnwndnRwnP,说明这个粗略的梯度估计值是精确值的无偏估计。值满足max10，当n，ˆ()wn的均值收敛于optw。因为R是正定的，所以max[]trR，则更保守的估计，得到10[]trR。2.7.3自适应学习速率参数⑴固定学习速率：()n(常数)μ值对收敛稳定性和收敛速度影