2021年1月(八省联考)数学试题

试卷第1页，总4页2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知,MN均为R的子集，且RMNð，则MNRð（）A．B．MC．ND．R2．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）A．16B．13C．12D．233．关于x的方程20xaxb，有下列四个命题：甲：1x是该方程的根；乙：3x是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．椭圆2222101xymmm的焦点为1F、2F，上顶点为A，若123FAF，则m（）A．1B．2C．3D．25．已知单位向量,ab满足0ab，若向量72cab，则sin,ac（）A．73B．23C．79D．296．239111xxx的展开式中2x的系数是（）A．60B．80C．84D．1207．已知抛物线22ypx上三点(2,2),,ABC，直线,ABAC是圆22(2)1xy的两条切线，则直线BC的方程为（）A．210xyB．3640xyC．2630xyD．320xy8．已知5a且5e5e,4aab且44,3bbeec且3e3ecc，则（）试卷第2页，总4页A．cbaB．bcaC．acbD．abc二、多选题9．已知函数()ln(1)fxxx，则（）A．()fx在(0,)单调递增B．()fx有两个零点C．曲线()yfx在点11,22f处切线的斜率为1ln2D．()fx是偶函数10．设123,,zzz为复数，10z．下列命题中正确的是（）A．若23zz，则23zzB．若1213zzzz，则23zzC．若23zz，则1213zzzzD．若2121zzz，则12zz11．下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A．//AECDB．//CHBEC．DGBHD．BGDE12．设函数cos2()2sincosxfxxx，则（）A．()()fxfxB．()fx的最大值为12C．()fx在,04单调递增D．()fx在0,4单调递减三、填空题13．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______．14．写出一个最小正周期为2的奇函数()fx________．15．对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差2~0,nNn，为使误差n在(0.5,0.5)的概率不小于0.9545，至少试卷第3页，总4页要测量_____次（若2~,XN，则(||2)0.9545)PX）．四、双空题16．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．五、解答题17．已知各项都为正数的数列na满足2123nnnaaa．（1）证明：数列1nnaa为等比数列；（2）若1213,22aa，求na的通项公式．18．在四边形ABCD中，//ABCD，1ADCDBD．（1）若32AB，求BC；（2）若2ABBC，求cosBDC．19．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．20．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3，所以正四面体在各顶点的曲率为233，故其总曲率为4．试卷第4页，总4页（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2，证明：这类多面体的总曲率是常数．21．双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BFAF时，||||AFBF．（1）求C的离心率；（2）若B在第一象限，证明：2BFABAF．22．已知函数()esincos,()esincosxxfxxxgxxx．（1）证明：当54x时，()0fx…；（2）若()2gxax…，求a．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第1页，总20页参考答案1．B【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn图，结合Venn图即可确定集合的运算结果.【详解】解法一：RMNð,RMNð，据此可得RMNMð.故选：B.解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合RMð，矩形区域CDFG表示集合N，满足RMNð，结合图形可得：RMNMð.故选：B.2．C【分析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】设三位同学分别为,,ABC，他们的学号分别为1,2,3，用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如1,3,2表示A同学拿到1号，B同学拿到3号，C同学拿到2号.三人可能拿到的卡片结果为：1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1，共6种，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第2页，总20页其中满足题意的结果有1,3,2,2,1,3,3,2,1，共3种，结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：3162p.故选：C.【点睛】方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.3．A【分析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，分析各种情况下方程20xaxb的两根，进而可得出结论.【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于x的方程20xaxb的一根为3，由于两根之和为2，则该方程的另一根为1，两根异号，合乎题意；若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则1x是方程20xaxb的一根，由于两根之和为2，则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于x的方程20xaxb的两根为1和3，两根同号，不合乎题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于x的方程20xaxb的两根为1和3，两根之和为4，不合乎题意.综上所述，甲命题为假命题.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.4．C本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第3页，总20页【分析】分析出12FAF为等边三角形，可得出2ac，进而可得出关于m的等式，即可解得m的值.【详解】在椭圆2222101xymmm中，21am，bm，221cab，如下图所示：因为椭圆2222101xymmm的上顶点为点A，焦点为1F、2F，所以12AFAFa，123FAFQ，12FAF△为等边三角形，则112AFFF，即2122mac，因此，3m.故选：C.5．B【分析】本题借助cos,acacac将72cab代入化简即可.【详解】因为,ab是单位向量，所以1abrr.因为72cab，所以2227272723cababab.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第4页，总20页所以2727277cos,=3aabacaabacacacacc所以272sin,133ac.故选：B.6．D【分析】239111xxx的展开式中2x的系数是22222349CCCC，借助组合公式：11mmmnnnCCC，逐一计算即可.【详解】239111xxx的展开式中2x的系数是22222349CCCC因为11mmmnnnCCC且2323CC，所以2232323334CCCCC，所以222233234445CCCCCC，以此类推，2222323234999101098120321CCCCCCC.故选：D.【点睛】本题关键点在于使用组合公式：11mmmnnnCCC，以达到简化运算的作用.7．B【分析】先利用点(2,2)A求抛物线方程，利用相切关系求切线AB，AC，再分别联立直线和抛物线求出点,BC，即求出直线BC方程.【详解】(2,2)A在抛物线22ypx上，故2222p，即1p，抛物线方程为22yx，设过点(2,2)A与圆22(2)1xy相切的直线的方程为：22ykx，即本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第5页，总20页220kxyk，则圆心2,0到切线的距离2202211kkdk，解得3k，如图，直线:232AByx，直线:232ACyx.联立22322yxyx，得23431416830xx，故16833ABxx，由2Ax得8433Bx，故2363By，联立22322yxyx，得23431416830xx，故16833ACxx，由2Ax得8433Cx，故2363Cy，故236236433BCyy，又由,BC在抛物线上可知，直线BC的斜率为22221114222BCBCBCBCBCBCyyyykxxyyyy，故直线BC的方程为2361843323yx，即3640xy.故选：B.【点睛】本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第6页，总20页方法点睛：求圆的切线的方程的求法：（1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程；（2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程.8．D【分析】令,0xefxxx，利用导数研究其单调性后可得,,abc的大小.【详解】因为5e5e,5aaa，故0a，同理0,0bc，令,0xefxxx，则21xexfxx，当01x时，0fx，当1x时，0fx，故fx在0,1为减函数，在1,为增函数，因为5e5e,5aaa，故5ee5aa，即5ffa，而05a，故01a，同理01b，01c，4ffb，3ffc因为543fff，故fafbfc，所以01abc.故选：D．【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨