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【知识点分析】:一、球的性质回顾如右图所示:O为球心,O’为球O的一个小圆的圆心,则此时OO’垂直于圆O’所在平面。求外接球半径的原理是:在Rt△OAO’中,OA2=OO’2+O’A2二、常见平面几何图形的外接圆半径(r)的求法1、三角形:(1)等边三角形:等边三角形(正三角形),五心合一,即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。内心:内切圆圆心,各角角平分线的交点;外心:外接圆圆心,各边中垂线的交点;重心:各边中线的交点;垂心:各边垂线的交点;中心:正多边形特有。从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质(2:1)进行求解:aar332332(其中a为等边三角形的边长)(2)直角三角形:结合直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;可知:直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处,r=2c。(3)等腰三角形:结合等腰三角形中三线合一的性质可知:等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线(即中线)上。由图可得:22)2()(arhr(4)非特殊三角形:非特殊三角形求解外接圆半径可使用正弦定理2sinsinsinabcRC。rr设:AD=h,BD=12aABCDO2、四边形常见具有外接圆的四边形有:正方形、矩形、等腰梯形,其中正方形与长方形半径求解方法转化为直角三角形,等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内。外接圆圆心是在圆心到各个顶点距离相同的点;外接球球心则是球心到几何体各个顶点距离相同的点。结论:几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面,(也即球心落在过底面外心的垂线上,)简单称之为:球心落在底面外心的正上方。【相似题练习】2.半径为2的球的内接三棱锥P﹣ABC,PA=PB=PC=2,AB=AC=BC,则三棱锥的高为()A.3B.C.2D.3【知识点分析】:类型一:直(正)棱柱:上下两底面三角形的外心连线与侧棱平行与底面垂直,从而球心O必位于上下两底面外心连线的中点处,即121'AAOO,从而R可求.【相似题练习】1.三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面ABC是边长为2的正三角形,侧棱AA1垂直于底面ABC,且AA1=4,则此三棱柱外接球的表面积为()A.B.C.D.【知识点分析】:类型二:侧棱垂直底面的三棱锥,法一:补形法:该几何体可由正三棱柱沿平面PBC切割得来,故可转化为原三棱柱的外接球;法二:先确定底面三角形ABC的外心O’,从而球心位于O’的正上方,即OO’⊥平面ABC,同时:OP=OA,故,过O作OM⊥PA于M,此时M必为PA中点,从而四边形OMAO’为矩形,所以PAAMOO21',在直角三角形OO’A中有:222'OOrR.【相似题练习】2.已知在三棱锥P﹣ABC中,△ABC是边长为2的正三角形,若PA⊥底面ABC且PA=2,则该三棱锥的外接球的表面积为()A.32πB.28πC.24πD.20π3.在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,PA=2,AB=4,AC=3,∠BAC=,则三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R=()A.B.C.D.【知识点分析】:类型三:正三棱锥:由底面正三角形边长可得r,在直角三角形OO’A中,222'OOrR,故只需确定OO’的长度即可,结合图形,OO’=PO’-OP=H-R,代入222)(RHrR即可求解.【相似题练习】3.正三棱锥P﹣ABC侧棱长为,侧棱与底面ABC所成的角为60°,则该正三棱锥外接球半径为.2.某几何体的三视图如图所示,其中网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的外接球的表面积为()【知识点分析】:类型四:侧面垂直于底面的三棱锥:设△ABC和△PAB的外心分别为O’,O’’,则PM⊥AB,球心设为O,则OO’⊥平面ABC,OO’’⊥平面PAB,从而四边形OO’MO’’是矩形,可得:OO’=O’’M,在Rt△OO’C中用勾股定理求解.【讲透例题】1.在四面体A﹣BCD中,AB=5,BC=CD=3,DB=2,AC=4,∠ACD=60°,则该四面体的外接球的表面积为.解析:如图:取AB的中点O,在△ACD中,由余弦定理得:AD2=AC2+CD2﹣2×AC×CDcos60°=13,在△ABD中,∵AB2=BD2+AD2,∴∠ADB=90°,∴OA=OB=OD,在△ABC中,∵AB2=BC2+AC2,∴∠ACB=90°,∴OA=OB=OC,∴OA=OB=OC=OD,∴O为四面体ABCD的外接球的球心,其半径R=AB=,∴S球=4πR2=4π()2=25π.故答案为:25π.【相似题练习】4.在三棱锥P-ABC中,面PAB⊥面ABC,三角形ABC和三角形PAB均为等边三角形,且AB=3,求该几何体外接球半径.2.在边长为2的菱形ABCD中,,将菱形ABCD沿对角线AC折起,使得平面ABC⊥平面ACD,则所得三棱锥A﹣BCD的外接球表面积为()A.B.C.D.1.已知点A是以BC为直径的圆O上异于B,C的动点,P为平面ABC外一点,且平面PBC⊥平面ABC,BC=3,PB=2,PC=,则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为.5、如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为长方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP=2,AB=2,E为棱PD中点.(1)求证:PD⊥平面ABE;(2)求四棱锥P﹣ABCD外接球的体积.1.如图,在正四棱锥P﹣AMDE,底面AMDE的边长为2,侧棱PA=,B,C分别为AM,MD的中点.F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC,PM分别交于点G,H,K.(1)求证:AB∥FG;(2)求正四棱锥P﹣AMDE的外接球的表面积.1.如图,四凌锥P﹣ABCD而底面ABCD是矩形,侧面PAD是等腰直角三角形∠APD=90°,且平面PAD⊥平面ABCD.(Ⅰ)求证:平面PAD⊥平面PCD;(Ⅱ)在AD=2,AB=4,求三棱锥P﹣ABD的体积;(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下,求四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积.7、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图,已知其俯视图是正三角形,则该四棱锥的外接球的表面积是()A.B.C.19πD.22π课后作业:1.如图,一个正三棱柱的主视图是长为,宽为2的矩形,俯视图是边长为的正三角形,则它的外接球的表面积等于()A.16πB.12πC.8πD.4π2.某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形,则此四面体的外接球的表面积为()A.πB.3πC.πD.π3.某四棱锥的三视图如图所示,则该棱锥的外接球的表面积为()A.3πB.C.6πD.12π4.四棱锥P﹣ABCD中,ABCD为矩形,AD=2,AB=2,PA=PD,∠APD=,且平面PAD⊥平面ABCD.(1)证明:PA⊥PC;(2)求四棱锥P﹣ABCD的外接球的体积.参考答案与解析12.(5分)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,⊙O1为△ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为()A.64πB.48πC.36πD.32π【解答】解:由题意可知图形如图:⊙O1的面积为4π,可得O1A=2,则AO1=ABsin60°,,∴AB=BC=AC=OO1=2,外接球的半径为:R==4,球O的表面积:4×π×42=64π.故选:A.1.1.一个几何的三视图如图所示,它们都是腰长为1的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的体积等于()A.B.C.πD.2π解析:由三视图可知:该几何体是一个如图所示的三棱锥,其中底面是一个两直角边都为1的直角三角形,PC⊥底面ABC,且PC=1.将此三棱锥恢复为棱长为1的正方体,可知该正方体的外接球的直径即为正方体的对角线,∴V外接球==.故选:B.1.半径为2的球的内接三棱锥P﹣ABC,PA=PB=PC=2,AB=AC=BC,则三棱锥的高为()A.3B.C.2D.3【解答】解:三棱锥P﹣ABC中,PA=PB=PC=2,AB=AC=BC,如图,过点p作PM⊥平面ABC的垂足为M,则球O的内接三棱锥P﹣ABC的球心O在PM所在直线上,∵球O的半径为2,∴OB=OP=2,∴由余弦定理得cos∠BPM==∴∠BPM=30°,∴在Rt△PMB中,∠PBM=60°,∴PM=PBsin∠PBM=3.故选:D.1.三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面ABC是边长为2的正三角形,侧棱AA1垂直于底面ABC,且AA1=4,则此三棱柱外接球的表面积为()A.B.C.D.【解答】解:∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的中,底面边长为2,高为4,由题意可得:三棱柱上下底面中心连线的中点,到三棱柱顶点的距离相等,说明中心就是外接球的球心,∴正三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O,外接球的半径为r,表面积为:4πr2.球心到底面的距离为2,底面中心到底面三角形的顶点的距离为:=,所以球的半径为r==.外接球的表面积为:4πr2=π故选:D.2.已知在三棱锥P﹣ABC中,△ABC是边长为2的正三角形,若PA⊥底面ABC且PA=2,则该三棱锥的外接球的表面积为()A.32πB.28πC.24πD.20π【解答】解:由正弦定理可知,正△ABC的外接圆的直径为,∵PA⊥平面ABC,所以,该三棱锥的外接球的直径为,则.因此,该三棱锥的外接球的表面积为4πR2=20π.故选:D.3.在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,PA=2,AB=4,AC=3,∠BAC=,则三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R=()A.B.C.D.【解答】解:∵AC=3,AB=4,∠BAC=,∴由余弦定理可得BC=,∴△ABC外接圆的半径r=,设球心到平面ABC的距离为d,则d=PA=1.由勾股定理可得R=,故选:D.3.正三棱锥P﹣ABC侧棱长为,侧棱与底面ABC所成的角为60°,则该正三棱锥外接球半径为1.【解答】解:过点P作PH⊥平面ABC于H,则∵AH是PA在平面ABC内的射影∴∠PAH是直线PA与底面ABC所成的角,得∠PAH=60°,∴Rt△PAH中,AH=PAcos60°=,PH=PAsin60°=设三棱锥外接球的球心为O,∵PA=PB=PC,∴P在平面ABC内的射影H是△ABC的外心由此可得,外接球心O必定在PH上,连接OA、OB、OC∵△POA中,OP=OA,∴∠OAP=∠OPA=30°,可得PA=OA=,∴三棱锥外接球的半径R=OA=1故答案为:1.2.某几何体的三视图如图所示,其中网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的外接球的表面积为()A.16πB.12πC.9πD.8π【解答】解:根据几何体的三视图转换为直观图为:该几何体为底面为等腰直角三角形,高为2的三棱锥体.如图所示:所以该三棱锥体的外接球的球心为O,外接球的半径为OA=r,则:,解得.故S=.故选:C.4.在三棱锥P-ABC中,面PAB⊥面ABC,三角形ABC和三角形PAB均为等边三角形,且AB=3,求该几何体外接球半径.由题可得:333,2331'''ABrPMMOOO,所以215'22OOrR2.在边长为2的菱形ABCD中,,将菱形ABCD沿对角线AC折起,使得平面ABC⊥平面ACD,则所得三棱锥A﹣BCD的外接球表面积为()A.B.C.D.【解答】解:∵在边长为2的菱形ABCD中,;如图,由已知可得,△ABC与△ACD均为等边三角形,取AC中点G,连接BG,DG,则BG⊥AC,∴DG=⇒cos∠GDA=⇒∠GDA=⇒∠ADC=;∵二面角B﹣AC﹣D为直二面角,则BG⊥平面ACD,分别取△BCD与△ABD的外心E,F,过E,F分别作两面的垂线,相交于O,则O为三棱锥A﹣BCD的外接球的球心,由△BCA与△ACD均为等边三角形且边长为2,可得OE=OF=DG=.∴DE=DG﹣GE=.∴OD===.∴三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为4π×R2=4π×()2=.故选:C.1.已知点A是以BC为直径的圆O上异于B,C的动点,P为平面ABC外一点,且平面PBC⊥平面ABC,BC=3,PB=2,PC=,则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为10π.【解答】解:因为O为△ABC外接圆的圆心,且平面
本文标题:高中数学空间几何体的外接球专题(附经典例题与解析)
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