概率论中基本概率模型的方法总结

学号08124080206广东石油化工学院理学院学生学年论文题目:概率论中基本概率模型的方法总结系别数学系专业数学与应用数学班级数学08-2班学生姓名黄小燕指导教师（职称）李春香（副）教授完成时间20011年4月12日指导教师评语：评分：签名：3摘要概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努力概型，古典概型是各类概率模型中最基本的一种，在实际问题中经常会遇到，因此它历来是概率论教学中的重点部分，是学习概率统计的基础。几何概型从某种意义上说是古典概型的补充和推广，在很多实际问题中，实验的一切结果是无限个，这时古典概型就不再适用了。贝努力概型是概率论中最早研究的模型之一，它在概率论中占有相当重要的地位。这三种概率各有各的定义、条件、计算方法及应用范围。关键词：古典概型、几何概型、贝努力概型4目录引言···············································································································51、古典概型····································································································61．1摸球问题···························································································61.1.1随机取出若干球··········································································61.1.2无放回取球若干次········································································71.1.3有放回取球若干次·······································································81.2放球入箱问题······················································································91.3排序问题····························································································102、几何概型···································································································112.1约会问题····························································································122.2蒲丰投针问题······················································································122.3数学模型问题·····················································································132.3.1均匀分布··················································································132.3.2求近似值··················································································143、贝努力概型································································································14结论··············································································································16参考文献········································································································175概率论中基本概率模型的方法总结引言概率论中几种常用的概率模型是古典概型、几何概型、贝努力概型。本文对这三种概率模型的方法进行了总结。61、古典概型古典概型及其概率是概率论的基础知识，它是进一步学习概率的基础。下面就一些典型事件的分析来说明古典概型的概率计算方法。古典概型的概率计算可以分为三个步骤：（1）确定所研究的对象为古典概型（2）计算样本点数（3）利用公式计算概率即若随机试验满足样本空间只有有限多个样本点及每个样本点出现的可能性相同，那么这样的随机试验就是古典概型。设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由m个样本点组成.则定义事件A的概率为：nmAAP中的样本点数中的样本点数S，在计算m和n时，经常要用到排列与组合计算公式。关于古典概型的数学模型有如下：1．1摸球问题1.1.1随机取出若干球随机从袋中取若干球问题是古典概型中的一类最基本问题，其特点是所考虑的事件中只涉及到球的结构而不涉及取球的先后顺序，计算样本点数时只需考虑组合数即可。概率中很多问题常常可以归结为此类问题来解决。例1一个袋中有m+n个球，其中有m个黑球，n个白球，现随机地从袋中取出k个球（km+n），求其中恰好有一个白球（1n）的概率。【2】分析：随机地从袋中取出k个球有cknm种可能的结果，其中“恰好有1个白球”这一事件包含了cckmn11种结果，因此所求概率为cccknmkmnP11结论：这个结论可以作为一个公式来应用，用它可以解决一些类似的问题。71.1.2无放回取球若干次随机从袋中无放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取一个球，取后不再放回袋中，连续进行若干次。这样的取球过程实际上是按顺序取的，所考虑的事件也会涉及到取球的顺序，所以要用排列数计算样本点数。例2一个袋中有m+n个球，其中有m个黑球，n个白球，现随机地从中每次取出一个球（不放回），求下列事件的概率：【3】（1）第i次取到的是白球；（2）第i次才取到白球；（3）前i次中能取到白球；（4）前i次中恰好取到1个白球（nnmi11，）；（5）到第i次为止才取到1个白球（nnmi11，）。分析：（1）“第i次取到的是白球”可以理解为“取球进行了i次，第i次取出白球”。从m+n个球中不放回地取球i次，即是从m+n个球中不放回地取出i个球，一共有pinm种不同的取法；其中“第i次取到的是白球”有cpninm111。因此所求概率为：pcppinmninm1111，根据排列数公式计算得nmnp1。结论：这个问题可以看成是抽签问题的数学模式，其结果表明：抽到好签的机会（概率）与抽签的顺序无关，即抽签具有公平性。（2）“第i次才取到白球”可以理解为“取球进行了i次，前i-1次取出的都是黑球，第i次取出的是白球”，根据乘法原理可知应有cpnim11种取法；同（1）可得从m+n个球中不放回地取球i次一共有pinm种不同的取法，故有pppcppinmiminmnimn1112。（3）“前i次中能取到白球”包含的情况比较复杂，因此先找它的对立事件“前i次取出的都是黑球”的概率。“前i次取出的都是黑球”的概率是：ccppinmiminmimP，所以前i次能取到白球的概率是ccpinmim13。（4）“前i次恰好取到1个白球”意味着“取出的i个球中有1个白球，i-1个黑8球”，根据乘法原理可知应有pcciinim11种取法，所以cccppccpinmniminmiinim11114。（5）“到第i次为止才取到1个白球”等价于“前i-1次中恰好取到1-1个白球且第i次取到白球”。故cccpcpccpinmniminmmiinimin)11(111111111115。由此可见如果能深刻理解以上该事件这种数学模型，那么古典概型中的一些概率计算问题就可以归纳为随机从袋中无放回取球若干次求某事件的概率问题。1.1.3有放回取球若干次随机从袋中有放回地取球若干次就是指随机地从袋中每次只取出一个球，取后依然放回袋中，连续进行若干次。这样的取球过程实际上也是按顺序取的，而且每个球都有被重复取出的可能，所考虑的事件依然会涉及到取球的顺序，所以要用重复排列数计算样本点数。例一袋中装有m+n个球，其中m个黑球，n个白球，现随机地从中每次取出一个球，取后放回，求下列事件的概率：【3】（1）第i次取到的是白球；（2）第i次才取到白球；（3）前i次中能取到白球；（4）前i次中恰好取到1个白球（nnmi11，）；（5）到第i次为止才取到1个白球（nnmi11，）。分析：因为每一个问题仅仅涉及了i次取球，所以只考虑取球i次的情形。根据题中的取球要求可知每次取球都是从m+n个球中取出1个共取了i次，据此应该有)(nmi种不同的取球方式。（1）“第i次取到的是白球”意味着“前i-1次每次都是从m+n个球中取出1个球（白球或黑球），然后第i次是从n个白球中取出1个白球”，根据乘法原理得“第i次取到的是白球”应有cnmni11)(种取法。因此所求概率是nmnnmcnmpini)()(111。（2）“第i次才取到白球”表示“前i-1次每次都是从m个黑球中取出1个黑球，然后第i次是从n个白球中取出1个白球”，一共有nmi1种取法。故事件“从第9i次才取到白球”的概率是)(12nmmpiin。（3）“前i次中能取到白球”的对立事件是“前i次取出的都是黑球”，而“前i次取出的都是黑球”是指“前i次每次都是从m个黑球中取出1个黑球”，有mi种取法。所以“前i次中能取到白球”的概率是)(13nmmpii。（4）“前i次中恰好取到1个白球”表明“取出的i个球中有1个白球，i-1个黑球”，其中1个白球中的任意一个可以是i次取球中的任意一次取出的，同时也是每次从n个白球中取出一个；欲得到i-1个黑球须每次从m个黑球中取出一个，取i-1次。根据乘法原理可知“前i次中恰好取到1个白球”应有mnciii11种取法。因此它的概率为)(114nmmncpiiii。（5）“到第i次为止才取到1个白球”意味着“前i-1次中恰好取到i-1个白球且第i次取到的是白球”，由（4）可知前i-1次中恰好取到1-1个白球应有mncii111111种取法；又因第i次取到的是白球有n种取法。由乘法原理得“到第i次为止才取到1个白球”应有mncmnciiiin11111111111种取法，从而所求概率是)(111115nmmncpiii。1.2放球入箱问题放球入箱问题，也叫分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。下面就以一个例子说明。例设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/N落在N(n≤N)个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率：【1】（1）A={某指定的一个盒子中没有球}（2）B={某指定的n个盒子中各有一个球}