向量公式

向量概念1向量概念一、向量有关概念名称定义备注向量既有_______又有_______的量。向量不能比较大小向量的模向量的大小叫做向量的_______（或_______）记为_______若已知,axy，则22axy，模可以比较大小零向量长度为_______的向量，记为_______零向量与所有向量平行；与所有向量垂直。单位向量长度等于_______的向量平行向量方向_______或_______的非零向量。0与任一向量平行或共线；直线平行：不包括重合情况共线向量：包括重合情况若a、b都是非零向量，ab存在实数λ，使ab共线向量_______向量又叫共线向量。相等向量长度_______且方向_______的向量特点：1、长度相等；2、平行且方向一致相反向量长度_______且方向_______的向量0的相反向量是本身特点：1、长度相等；2、平行且方向相反a_______二、向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）备注加法求两个向量和的运算三角形法则：ABBCAC特点：首尾相连，始终如一。在ABC中，0ABBCCA平行四边形法则：ABACAD特点：共同始点为相邻边的和是平行四边形中有共同始点的对角线。减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则：ACABBC特点：差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。ABCABCDABC向量概念2数乘求实数与向量a的积的运算1、当a=_______2、当0时，a与a的方向_______；当0时，a与a的方向_______；当0时，a=_____；当0a时，R则0_____三、向量的表示方法1、字母表示法：如a、AB；2、几何表示法：用一条______________表示向量；3、坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA的始点为坐标原点，终点坐标为A（X，Y），则向量OA坐标记为（X，Y）四、两个向量的夹角1、定义：已知两个_______向量a与b，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角。2、范围：000180，a与b同向时，夹角_______；a与b反向时，夹角_______3、向量垂直：如果向量a与b的夹角是_______时，则a与b垂直，记为_______五、平面向量基本定理及坐标表示1、定理：如果1e、2e是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_______一对实数1、2，使a=___________，其中，___________叫做表示这一平面所有向量的一组基底。2、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个_______的向量，叫做把向量正交分解。3、平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与X轴、Y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数对X，Y，使axiyj，把有序实数对_______叫做向量a的坐标，记作a=_______，其中_____叫做a在X轴上的坐标，其中_____叫做a在Y轴上的坐标。即axiyja=（X，Y）六、平面向量的坐标运算：1、向量坐标求法：已知11,Axy，22,Bxy，则2121,ABxxyy，即一个向量的坐ABO向量概念3标等于该向量_______的坐标减去_______的坐标。2、向量坐标加法、减法、数乘运算：设11,axy，22,bxy加法：a+b=1212,xxyy减法：a-b=1212,xxyy数乘：1111,,axyxy3、平面向量共线与垂直的表示：设11,axy，22,bxy，其中0b，则a与b共线（或ab）111221220xyabxyxyxyab121200abxxyy七、平面向量数量积1、已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，把数量_______叫做a与b的数量积（或内积），记作a。b，即a。b=_______，并规定零向量与任一向量的数量积为_______注：两个非零向量a和b的数量积是一个数量，不是向量，其值为两向量的模与它们夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦决定。当000,900ab；当0900ab当0090,1800ab；数量积是内积，用ab表示，不能用ab或ab表示2、一向量在另一向量方向上投影定义：_______（_______）叫做a在b的方向上（b在a的方向上）的投影。如图OAa，OBb，过B作1BB垂直于直线OA，垂足为1B，则1cosOBb1cosOBb叫做向量b在a的方向上当为锐角时，如图1，它是_______；当为钝角时，如图2，它是_______；OBA1BabaOBA1BbAa01BBb图1图2图3向量概念4当为直角时，如图3，它是_______；当=00时，它是_______；当=0180时，它是_______；ab的几何意义：数量积ab等于a的长度a与______________的乘积3、平面向量数量积的重要性质：设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则e。a=a。e=_______当a与b同向时，ab=_______；当a与b反向时，ab=_______；特别是a。a=22aa2aaaaabab=_______|cos|abab4、平面向量数量积的运算律交换律：a+b=_______数乘结合律：ab______________=______________分配律：（a+b）c=______________2222abaabb22ababab2222222abcabcabacbc八、向量的应用：1证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件a与b共线（或ab）111221220xyabxyxyxy2、证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：ab121200abxxyy3、求夹角的问题，利用夹角公式121222221122cosxxyyababxyxy4、求线段的长度，可以利用向量的线性运算，向量的模若,axy，则22aaaxy若1122,,,AxyBxy，则222121ABxxyy2222ababaabb5、如图所示，在ABC中，D是BC边上有中点（AD是ABC的BC边上中线），则有12ADABACABCD向量概念5空间直角坐标系一、空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：X轴、Y轴、Z轴，这时建立了_______OXYZ，其中点O叫做_______，X轴、Y轴、Z轴叫做_______，通过每两个坐标轴的平面叫做_______，如XOY平面、YOZ平面、ZOX平面。二、右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_______的正方向，食指指向_______的正方向，如果中指指向_______的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。三、空间直角坐标系中坐标：空间一点M的坐标可以用有序实数组（X，Y，Z）来表示，有序实数组（X，Y，Z）叫做点M在此_______，记作M（X，Y，Z），其中X叫做点M的_______，Y叫做点M的_______，Z叫做点M的_______。四、空间中两点间的距离公式：空间中的两点111222,,,,,AxyzBxyz之间的距离222212121ABxxyyzz空间中的任意一点,,pxyz与原点之间的距离222OPxyz五、关于对称点的求法1、,,pxyz1,,pxyz2、,,pxyz关于坐标平面yOZ对称1,,pxyz3、,,pxyz关于坐标平面xoZ对称1,,pxyz4、,,pxyz关于X轴对称1,,pxyz5、,,pxyz关于y轴对称1,,pxyz6、,,pxyz关于Z轴对称1,,pxyz7、,,pxyz关于原点对称1,,pxyz六、已知11112222,,,,,pxyzpxyz，则12pp的中点坐标为121212,,222xxyyzzp七、已知三角形ABC的三个顶点111222333,,,,,,,,AxyzBxyzCxyz，则三角形ABC的重心G的坐标为123123123,,333xxxyyyzzzG关于坐标平面xoy对称