2020年九年级数学备战中考：二次函数压轴题(含答案)

-1-二次函数压轴题中考真题集合1.在平面直角坐标系中，抛物线𝑦𝑎𝑥2𝑏𝑥𝑐过点𝐴10，𝐵30，与y轴交于点C，连接AC，BC，将𝑂𝐵𝐶沿BC所在的直线翻折，得到𝐷𝐵𝐶，连接OD.（1）用含a的代数式表示点C的坐标.（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式.（3）设𝑂𝐵𝐷的面积为S1，𝑂𝐴𝐶的面积为S2，若𝑆1𝑆223，求a的值.2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）.（1）求抛物线的解析式.（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值.（3）当PH＝2时，求点P的坐标.-2-3.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣34x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E.（1）求抛物线的函数表达式（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点.连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标.4.如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A.点P以每秒√2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M.（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当𝑀𝑄𝑁𝑄12时，求t的值；-3-（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值.5.如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C.（1）求这个抛物线的函数表达式.（2）点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值.（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.6.如图，抛物线𝑦𝑎𝑥2𝑏𝑥3与𝑥轴交于𝐴10，𝐵30两点，与𝑦轴交于点𝐶，点𝐷是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式.-4-（2）点𝑁是𝑦轴负半轴上的一点，且𝑂𝑁√2，点𝑄在对称轴右侧的抛物线上运动，连接𝑄𝑂，𝑄𝑂与抛物线的对称轴交于点𝑀，连接𝑀𝑁，当𝑀𝑁平分∠𝑂𝑀𝐷时，求点𝑄的坐标.（3）直线𝐵𝐶交对称轴于点𝐸，𝑃是坐标平面内一点，请直接写出𝛥𝑃𝐶𝐸与𝛥𝐴𝐶𝐷全等时点𝑃的坐标.7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣12x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7.（1）求此抛物线的解析式.（2）求点N的坐标.（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝12时，求点F的坐标.（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t≤√5），请直接写出S与t的函数关系式.8.如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦2𝑥6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线𝑦2𝑥2𝑏𝑥𝑐过A，C两点，与x轴交于另一点B.-5-（1）求抛物线的解析式.（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当𝐸𝐹12𝐵𝐹时，求𝑠𝑖𝑛∠𝐸𝐵𝐴的值.（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.9.在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点B（﹣1，0），与y轴交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D.（1）求抛物线的解析式.（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当S△AQD＝2S△APQ时，求点P的坐标.（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GM⊥DG交AC于点M，过点M作射线MN，使∠NMG＝60°，交射线GD于点N；过点G作GH⊥MN，垂足为点H，连接BH.请直接写出线段BH的最小值.-6-10.抛物线𝑦29𝑥2𝑏𝑥𝑐与𝑥轴交于𝐴（10），𝐵（50）两点，顶点为𝐶，对称轴交𝑥轴于点𝐷，点𝑃为抛物线对称轴𝐶𝐷上的一动点（点𝑃不与𝐶𝐷重合）.过点𝐶作直线𝑃𝐵的垂线交𝑃𝐵于点𝐸，交𝑥轴于点𝐹.（1）求抛物线的解析式；（2）当𝑃𝐶𝐹的面积为5时，求点𝑃的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点𝑃的坐标.11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点.（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上-7-方），且MN＝2√2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标.12.如图，在平面直角坐标系中，𝑅𝑡𝛥𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶在𝑥轴上，∠𝐴𝐵𝐶90，以𝐴为顶点的抛物线𝑦𝑥2𝑏𝑥𝑐经过点𝐶30，交y轴于点𝐸03，动点𝑃在对称轴上.（1）求抛物线解析式；（2）若点𝑃从𝐴点出发，沿𝐴𝐵方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点𝐵停止，设运动时间为𝑡秒，过点𝑃作𝑃𝐷𝐴𝐵交𝐴𝐶于点𝐷，过点𝐷平行于𝑦轴的直线𝑙交抛物线于点𝑄，连接𝐴𝑄𝐶𝑄，当𝑡为何值时，𝛥𝐴𝐶𝑄的面积最大？最大值是多少？（3）若点𝑀是平面内的任意一点，在𝑥轴上方是否存在点𝑃，使得以点𝑃𝑀𝐸𝐶为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的𝑀点坐标；若不存在，请说明理由.13.如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线𝑦14𝑥2𝑏𝑥𝑐经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点.（1）求抛物线的解析式；-8-（2）抛物线上有一点M，当∠MBE=75°时，求点M的横坐标；（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.14.在平面直角坐标系中，直线y12𝑥2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y12𝑥2bx𝑐的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上.（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值；（3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.15.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，-9-并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．-10-答案解析部分1.【答案】（1）解：抛物线的表达式为：𝑦𝑎𝑥1𝑥3𝑎𝑥22𝑥3，即𝑐3𝑎，则点𝐶03𝑎（2）解：过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，∵∠CDP∠PDC90°，∠PDC∠𝑄DB90°，∴∠𝑄𝐷𝐵∠𝐷𝐶𝑃，设：𝐷1𝑛，点𝐶03𝑎，∠𝐶𝑃𝐷∠𝐵𝑄𝐷90°，∴𝐶𝑃𝐷𝐷𝑄𝐵，∴𝐶𝑃𝐷𝑄𝑃𝐷𝐵𝑄𝐶𝐷𝐵𝐷，其中：𝐶𝑃𝑛3𝑎，𝐷𝑄312，𝑃𝐷1，𝐵𝑄𝑛，𝐶𝐷3𝑎，𝐵𝐷3，将以上数值代入比例式并解得：𝑎√55，∵𝑎0，故𝑎√55，故抛物线的表达式为：𝑦√55𝑥22√55𝑥3√55（3）解：如图2，当点C在x轴上方时，连接OD交BC于点H，则𝐷𝑂𝐵𝐶，过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，-11-设：𝑂𝐶𝑚3𝑎，𝑆1𝑆𝛥𝑂𝐵𝐷12𝑂𝐵𝐷𝑀32𝐷𝑀，𝑆2𝑆𝛥𝑂𝐴𝐶121𝑚，而𝑆1𝑆223，则𝐷𝑀2𝑚9，𝐻𝑁12𝐷𝑀𝑚919𝑂𝐶，∴𝐵𝑁19𝐵𝑂13，则𝑂𝑁31383，则𝐷𝑂𝐵𝐶，𝐻𝑁𝑂𝐵，则∠𝐵𝐻𝑁∠𝐻𝑂𝑁，则𝑡𝑎𝑛∠𝐵𝐻𝑁𝑡𝑎𝑛∠𝐻𝑂𝑁，则𝐻𝑁2𝑂𝑁𝐵𝑁89m92，解得：𝑚6√2（舍去负值），𝐶𝑂3𝑎6√2，解得：𝑎2√2（不合题意值已舍去），故：𝑎2√2.当点C在x轴下方时，同理可得：𝑎2√2；故：𝑎2√2或𝑎2√22.【答案】（1）解：点C（0，4），则c＝4，二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4（2）解：tan∠ACO＝𝐴𝑂𝐶𝑂＝14，△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB＝14或4，-12-∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，则𝑎4𝑎14或𝑎4𝑎4，解得：a＝165或45（3）解：令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；分别延长CF、HP交于点N，∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，∴∠FPN＝∠NFB，∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，∴△PNF≌△BEF（AAS），∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，∴点P（2a，4），点H（2a，﹣4a2+6a+4），∵PH＝2，即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，解得：a＝1或12或3√174或3√174（舍去），故：点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（3+√172，4）.3.【答案】（1）解：在𝑦34𝑥3中，令𝑥0，得𝑦3，令𝑦0，得𝑥4，𝐴40，𝐵03，将𝐴40，𝐵03分别代入抛物线𝑦𝑥2𝑏𝑥𝑐中，得：424𝑏𝑐0𝑐3，解得：-13-𝑏134𝑐3，抛物线的函数表达式为：𝑦𝑥2134𝑥3（2）解：存在.如图1，过点𝐵作𝐵𝐻𝐶𝐷于𝐻，设𝐶𝑡0，则�