抛物线及其性质知识点及题型归纳总结

抛物线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线)(lFl的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.注若在定义中有lF，则动点的轨迹为l的垂线，垂足为点F.二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：)0(2,2,2,22222ppyxpyxpxypxy，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）表10-3标准方程)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx图形对称轴x轴y轴顶点原点)0,0(焦点坐标)0,2(p)0,2(p)2,0(p)2,0(p准线方程2px2px2py2py三、抛物线中常用的结论1.点),(00yxP与抛物线)0(22ppxy的关系（1）P在抛物线内（含焦点）0202pxy.（2）P在抛物线上0202pxy.（3）P在抛物线外0202pxy.2.焦半径抛物线上的点),(00yxP与焦点F的距离称为焦半径，若)0(22ppxy，则焦半径20pxPF，2maxpPF.3.)0(pp的几何意义yxOFlyxOFlyxOFlFyxOlp为焦点F到准线l的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大.4.焦点弦若AB为抛物线)0(22ppxy的焦点弦，),(11yxA，),(22yxB，则有以下结论：（1）4221pxx.（2）221pyy.（3）焦点弦长公式1：pxxAB21，pxxxx21212，当21xx时，焦点弦取最小值p2，即所有焦点弦中通径最短，其长度为p2.焦点弦长公式2：2sin2pAB（为直线AB与对称轴的夹角）.（4）AOB的面积公式：sin22pSAOB（为直线AB与对称轴的夹角）.5.抛物线的弦若AB为抛物线22(p0)ypx的任意一条弦，1122(x,y),B(x,y)A，弦的中点为000(x,y)(y0)M，则（1）弦长公式：212122111(kk0)ABABkxxyyk（2）0ABpky（3）直线AB的方程为000(xx)pyyy（4）线段AB的垂直平分线方程为000(xx)yyyp6．求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4A法）（1）2(A0),yAx焦点为(,0)4A，准线为4Ax(2)2(A0),xAy焦点为(0,)4A，准线为4Ay如24yx，即24yx，焦点为1(0,)16，准线方程为116y7．参数方程22(p0)ypx的参数方程为222xptypt（参数tR）8．切线方程和切点弦方程抛物线22(p0)ypx的切线方程为0000(xx),(x,y)yyp为切点切点弦方程为00(xx),yyp点00(x,y)在抛物线外与中点弦平行的直线为00(xx),yyp此直线与抛物线相离，点00(x,y)（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果。题型归纳及思路提示题型1；抛物线的定义与方程思路提示求抛物线的标准方程的步骤为：(1)先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：(2)根据题目条件列出P的方程(3)解方程求出P，即得标准方程1023例．已知抛物线22(p0)ypx的准线与圆22670xyx相切,求的值为（）A．12B．1C．2D．4解析；抛物线的准线为2px，圆22670xyx的标准方程为22(x3)16y，由2px与圆相切，知3()42p，解得2p，故选C评注准线是抛物线的重要性质，要熟记准线方程。变式1设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x，则抛物线的方程是（）A．28yxB．28yxC．24yxD．24yx变式2设00(x,y)M为抛物线2:8Cxy上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则0y的取值范围是（）A．0,2B．0,2C．2,D．2,例10.24若点p到直线1x的距离比它到点2,0的距离小1，则点p的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析解法一：（直接法）设(x,y)P，依题意有221(x2)1xy，当1x时，2211(x2)xy，整理得28yx当1x时，24(x1)y，显然不成立，故点p的轨迹方程为28(x0)yx解法二：（定义法）由题意可知，点p只能在1x的右侧，点p到直线2x的距离等于它到点2,0的距离，根据抛物线的定义知，点p的轨迹是抛物线，故选D变式1设圆C与圆22(y3)1x外切，与直线0y相切，则C的圆心轨迹为（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆变式2动点M到点(2,1)F的距离和到直线:34100lxy的距离相等，则动点M的轨迹为（）A．抛物线B．直线C．线段D．射线10.25例设抛物线28yx上一点P到y轴的距离是4，则点P抛物线焦点的距离是（）A．4B．6C．8D．12解析由焦半径公式4262ppPFx知点P到焦点的距离为6，故选B变式1（2012四川理8）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点0(2,y)M，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则OM（）A．22B．23C．4D．25变式2已知F是抛物线2yx的焦点，,AB是该抛物线上的两点，3AFBF则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．34B．1C．54D．74变式3设F为抛物线24yx的焦点，,,ABC为该抛物线上三点，若0FAFBFC，则FAFBFC（）A．9B．6C．4D．310.26例过抛物线22(p0)ypx的焦点F作倾斜角为60的直线与抛物线分别交于,AB两点（点A在x轴上方），则AFBF解析如图10-10所示，由题意得准线:2plx，作ACl于点C，BDl于点D，BHAC于点H，则,AFACBFBD，AHACBDAFBF，因为在三角形AHB中，60HAB，所以cos60AHAFBFABAFBF，即1()2AFBFAFBF，得3AFBF变式1已知F是抛物线2:4Cyx的焦点，过F且斜率为1的直线交C于,AB两点，设FAFB，则FA与FB的比值等于变式2已知点(2,0)A，抛物线2:x4Cy的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则:FMMN（）A．2:5B．1:2C．1:5D．1:3题型2与抛物线有关的距离和最值问题思路提示抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解。10.27例已知直线1:4360lxy和直线2:1lx，抛物线24yx上一动点P到直线1l和2l的距离之和的最小值是（）A．2B．3C．115D．3716分析画出图形，利用等价转化，将距离之和的最小值转化为点到直线的距离。解析作辅助线如图10-11所示，连接PF抛物线方程为24yx，2l为其准线，焦点为(1,0)F，由抛物线的定义可如12111(F,l)2PHPHPHPFFHd，故选A评注本题考查抛物线的定义及转化与化归的数学思想变式1已知点P是抛物线22yx上的一个动点，则点P到点(0,2)M与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．172B．3C．5D．92变式2已知点P在抛物线24yx上，那么当点P到点(2,1)Q的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．1(,1)4B．1(,1)4C．(1,2)D．(1,2)变式3动圆满足过定点(1,0)F，且与定直线1x相切，直线:221lyx与动圆有公共点，则动圆的面积最小值为题型3抛物线中三角形，四边形的面积问题思路提示解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比。例10.28（2012北京理12）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线24yx的焦点F，且与该抛物线相交于,AB两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为解析解法一：直线l的方程为3(x1)y没，代入24yx得231030xx解得121,33xx得(3,23)A11123322OAPASOFy解法二：如图10-12所示，由题意得抛物线的准线:1lx，过A作ACl于C，FHAC于H，连接,CFOA，则AFAC，又60CAF，故三角形ACF为正三角形，因为2CHp，所以23FH，所以11123322OAFSOFOH评注解法一求出了交点A的坐标，从而求得OAF的面积；解法二利用了抛物线的定义及三角形的性质，得出OAF中边OF的高，计算量较小，方法更简捷变式1（2012安徽理9）过抛物线24yx的焦点F的直线交抛物线于,AB两点，点O是坐标原点，若3AF，则AOB的面积为（）A．22B．2C．232D．22例10.29抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是（）A．4B．33C．43D．8分析作出图形，利用数形结合思想，在图中找到三角形的底和高从而使问题得以解决。解析解法一：如图10-13所示，由题意可知(1,0)F，准线方程为1x，由23(x1)4yyx，解得(3,23)A，故314AK，因为直线AF的斜率3，所以60AFx，则60FAK，又AKAF，则AKF为正三角形，AKF的底为4AK，高为23，所以1423432AKFS解法二：由焦点F到准线l的距离为2，因为直线AF的斜率为3，所以60AFx，则60FAK，又AKAF，则AKF为正三角形，则60FAK30FAK，则24KFFF，所以234434AKFS，选C变式1已知抛物线2;8Cyx的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且2AKAF，则AKF的面积为（）A．4B．8C．16D．32变式2设抛物线22yx的焦点为F，过点(3,0)M的直线与抛物线相交于,AB两点，与抛物线的准线相交于点C，2BF，则BCFACFSS等于（）A．45B．23C．47D．12有效训练题1．抛物线224(0)yaxa上有一点M，它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为()A．28yxB．212yxC．216yxD．220yx2.若点P到直线2x的距离比它到点(1,0)的距离大1,则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线3.已知抛物线22ypx,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．不能确定4.已知双曲线22122:1(0,0)xyCabab的离心率为2,若抛物线22:2(0)Cxpyp的焦点到双曲线1C的渐近线的距离为2,则抛物线2C的方程为()A．2833xyB．21633xyC．28xyD．216xy5.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线216yx的准线交于,AB两点,43AB,则C的实轴长为()A．2B．22C．4D．86.已知,PQ为抛物线22xy上两点,点,PQ的横坐标分别为4,2,过,PQ分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为()A．1B．3C．4D．87.已知以F为焦点的抛物线24yx上的两点,AB满足3AFFB