高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式章末整合课件新人教A版必修1

章末整合专题一专题二专题三专题一用基本不等式求最值(1)若m=1,求当x1时函数的最小值;(2)当x1时,函数有最大值-3,求实数m的值.分析:(1)由函数的形式可以看出,求最小值可用基本不等式求解;(2)当x1时,x-10,仍可用基本不等式求最值,利用等号成立的条件求参数m的值.例1已知函数y=x+𝑚𝑥-1(m0).专题一专题二专题三解:(1)当m=1时,y=x+1𝑥-1=x-1+1𝑥-1+1.∵x1,∴x-10.∴y=x-1+1𝑥-1+1≥2(𝑥-1)·1𝑥-1+1=3,当且仅当x-1=1𝑥-1,即x=2时取等号,所以当x1时函数的最小值为3.(2)∵x1,∴x-10,∴y=x-1+𝑚𝑥-1+1=-1-x+𝑚1-𝑥+1≤-2(1-𝑥)·𝑚1-𝑥+1=-2𝑚+1,当且仅当1-x=𝑚1-𝑥,即x=1-𝑚时取等号,即函数的最大值为-2𝑚+1,所以-2𝑚+1=-3,解得m=4.专题一专题二专题三方法技巧应用基本不等式求最值的技巧1.应用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行,若具备这些条件,可直接运用基本不等式,若不具备这些条件,则应进行适当的变形.2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性.(将在下章中学习)专题一专题二专题三变式训练1若实数a,b满足1𝑎+2𝑏=𝑎𝑏,则ab的最小值为()A.2B.2C.22D.4解析:(方法1)由已知得1𝑎+2𝑏=𝑏+2𝑎𝑎𝑏=𝑎𝑏,且a0,b0,∴ab𝑎𝑏=b+2a≥22·𝑎𝑏,当且仅当b=2a时等号成立,∴ab≥22.(方法2)由条件易知a0,b0,∴𝑎𝑏=1𝑎+2𝑏≥22𝑎𝑏,当且仅当b=2a时等号成立,∴ab≥22.答案:C专题一专题二专题三专题二解含参不等式例2解关于x的不等式ax2-(2a+3)x+60(a∈R).分析:首先讨论不等式的类型:(1)当a=0时,是一次不等式;(2)当a≠0时,是一元二次不等式,然后讨论a的符号,最后讨论两根与2的大小.3𝑎专题一专题二专题三解:当a=0时,化为x2;当a≠0时,原不等式可化为(ax-3)(x-2)0.当a0时,化为x-3𝑎(x-2)0,①当3𝑎2,即0a32时,解得x3𝑎或x2;②当3𝑎=2,即a=32时,解得x≠2;③当3𝑎2,即a32时,解得x2或x3𝑎.当a0时,化为x-3𝑎(x-2)0,解得3𝑎x2.综上所述:当a0时,原不等式的解集为3𝑎,2;当a=0时,原不等式的解集为(-∞,2);当0a32时,原不等式的解集为(-∞,2)∪3𝑎,+∞;当a=32时,原不等式的解集为(-∞,2)∪(2,+∞);当a32时,原不等式的解集为-∞,3𝑎∪(2,+∞).专题一专题二专题三方法技巧解含参不等式的一般方法(1)二次项系数不含参数且二次三项式不能分解因式时,对Δ的取值进行讨论.(2)二次项系数不含参数,二次三项式可分解因式时,主要根据两根大小进行比较,分x1x2,x1=x2,x1x2三种情况解答.(3)二次项系数含参数时,首先应讨论二次项系数a与0的关系,①当a=0时,不等式不是一元二次不等式,可直接解答;②当a≠0时,不等式是一元二次不等式,可分a0和a0两类,借助(1)(2)两种情况进行解答.专题一专题二专题三变式训练2已知常数a∈R,解关于x的不等式ax2-2x+a0.解:(1)若a=0,则原不等式为-2x0,故解集为{x|x0}.(2)若a0,Δ=4-4a2.①当Δ0,即0a1时,方程ax2-2x+a=0的两根为∴当0a1时,原不等式的解集为②当Δ=0,即a=1时,原不等式的解集为⌀.③当Δ0,即a1时,原不等式的解集为⌀.x1=1-1-𝑎2𝑎,x2=1+1-𝑎2𝑎,𝑥1-1-𝑎2𝑎𝑥1+1-𝑎2𝑎.专题一专题二专题三(3)若a0,Δ=4-4a2.①当Δ0,即-1a0时,原不等式的解集为②当Δ=0,即a=-1时,原不等式化为(x+1)20,∴当a=-1时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠-1}.③当Δ0,即a-1时,原不等式的解集为R.综上所述,当a≥1时,原不等式的解集为⌀;当0a1时,原不等式的解集为𝑥𝑥1+1-𝑎2𝑎或𝑥1-1-𝑎2𝑎.𝑥1-1-𝑎2𝑎𝑥1+1-𝑎2𝑎;专题一专题二专题三当a=0时,原不等式的解集为{x|x0};当-1a0时,原不等式的解集为当a=-1时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠-1};当a-1时,原不等式的解集为R.𝑥𝑥1+1-𝑎2𝑎或𝑥1-1-𝑎2𝑎;专题一专题二专题三专题三不等式中的恒成立问题例3已知关于x的不等式x2+mx4x+m-4.(1)若对一切实数x不等式恒成立,求实数m的取值范围;(2)若对一切大于1的实数x不等式恒成立,求实数m的取值范围.分析:(1)不等式为一元二次不等式,利用判别式小于0,即可求m的取值范围;(2)通过对一切大于1的实数x不等式恒成立,判断对应二次函数图象对称轴的位置及当x=1时y的值,即可求m的取值范围.专题一专题二专题三解:(1)将不等式x2+mx4x+m-4整理,转化为x2+(m-4)x-m+40.由Δ=(m-4)2-4(4-m)0,解得0m4.故m的取值范围是(0,4).(2)方法一将不等式x2+mx4x+m-4分离变量m,则原问题可等价于对一切大于1的实数x,m-𝑥2+4𝑥-4𝑥-1恒成立.∵-𝑥2+4𝑥-4𝑥-1=-(𝑥-1)2+2(𝑥-1)-1𝑥-1=-(x-1)+1𝑥-1+2≤-2+2=0,当且仅当x-1=1𝑥-1,即x=2时等号成立,∴m0.故实数m的取值范围为(0,+∞).专题一专题二专题三方法二令y=x2+(m-4)x-m+4.∵对一切大于1的实数x,y0恒成立,故m的取值范围是(0,+∞).方法技巧分离变量法解恒成立问题对于在区间D上,f(x)≥0(或f(x)≤0)型恒成立问题,我们一般利用分离变量法转化为求解最大(小)值问题.而对于一元二次不等式问题,可以借助对应二次函数的图象与性质求解,注意要讨论对称轴与区间D之间的关系,从而确定函数的最小(大)值.∴4-𝑚2≤1,1+𝑚-4-𝑚+4≥0或Δ=(m-4)2-4(4-m)0,解得m0.专题一专题二专题三变式训练3若关于x的不等式ax2-2x+20对于满足1x4的一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.解法一∵1x4,∴不等式ax2-2x+20可转化为a2𝑥-2𝑥2.令y=2𝑥-2𝑥2=-21𝑥−122+12≤12.∵141𝑥1,∴当1𝑥=12,即x=2时,函数取得最大值12,∴a12,即实数a的取值范围为12,+∞.专题一专题二专题三解法二依据a的取值进行分类讨论:(1)当a=0时,-2x+20在(1,4)上不成立;(2)当a0时,函数f(x)=ax2-2x+2的图象开口向下,对称轴为直线x=1𝑎,且1𝑎0,只需要x=4时,y≥0,此时无解;(3)当a0时,函数y=ax2-2x+2的图象开口向上,对称轴为直线x=1𝑎,且1𝑎0.①若1≤1𝑎≤4,需x=1𝑎时,y0,解得12a≤1.②若1𝑎4,需x=4时,y≥0,无解.③若01𝑎1,需x=1时,y≥0,则a1.综上,实数a的取值范围为𝑎𝑎12.