中值定理解题与求极限方法

例1设)(),(xgxf在ba,上连续，在),(ba内可微，且0)(xg。证明至少有一点ba,使得：)()()()()()(gfgbgaff。[分析]：要证的等式即为：)]()()[()()]()([gbgfgaff，即0])()()()()()([xbgxfxgafxgxf记)()()()()()()(bgxfxgafxgxfxF，则这个)(xF可用作证明此题的辅助函数。[证明]：作辅助函数)()()()()()()(bgxfxgafxgxfxF，则)(),(xgxf在],[ba上连续、在),(ba内可微，)(xF在],[ba上连续、在),(ba内可微，且)()()()(bgafbFaF。由Rolle定理，至少有一点ba,，使0)(F，即0])()()()()()([xbgxfxgafxgxf0)()()()()()()()(bgfgafgfgf0)(xg，当然有0)(g；)()()()()()(gfgbgaff例2设)(xf在],[ba上可微)0(ba，证明至少存在一点ba,使得abfafbfln)()()([分析]：要证的等式即为xxffabafbf][ln)()(lnln)()(只须对用Cauchy中值定理即可。[证明]：xxfln),(在],[ba上可微，且01)(lnxx，由Cauchy中值定理，至少有点),(ba，使得)(1)(lnln)()(ffabafbf，即abfafbfln)()()(。以上两例的分析过程中，我们运用了“倒推法”将辅助函数构造了出来。虽然这种“构造”的方法仍然是在“凑”，但已不再是随机的和无把握的了。因为采用了“倒推法”，而“倒推”的目的是要寻找“原函数”。既然如此，我们是否可以不去凑，而改用不定积分的方法直接“求”出这个“原函数”呢？如在例2中，我们可以将要证的等式变形为1ln)()()(abafbff)0(a两边对积分，得：Cabafbfflnln)()()(（C为任意常数）即Cabafbfflnln)()()(，可取xabafbfxfxFlnln)()()()(。容易验证：ababfbafbFaFlnln)(ln)()()(。可见，这样求出的)(xF满足Rolle定理。于是，对)(xF应用Rolle定理即可。例3设)(xf于],[21xx上可微，且021xx，证明：至少存在一点),(21xx，使得)()()()(1212121ffxfxfxxxx。[分析]：将要证的等式两边同乘以21，得：22212121)()(1)()(1ffxfxfxxxx两边对积分，得：Cfxfxfxxxx)(1)()(1212121即Cxfxfxxxxf1)()(1)(212121可取xxfxfxxxxxxfxF1)()(1)()(212121可以验证：212121)()()()(xxxfxfxFxF。于是，可由Rolle定理证之。[注]：此题也可用Cauchy定理证明。简述如下：211221212121)()()()(1xxxfxxfxxfxfxxxx)()(1)()(11)()(22),(21112221ffffxxxxfxxfxxCauchy定理由例4用Rolle定理证明Cauchy定理。[分析]：要证)()()()()()(gfagbgafbf，即0)()]()([)()]()([fagbggafbf两边对积分，得：Cfagbggafbf)()]()([)()]()([可取)()]()([)()]()([)(xfagbgxgafbfxF可以验证：)()()()()()(afbgagbfaFbF。即满足Rolle定理条件。例5设)(xf在]1,0[上可微，0)0(f，且当)1,0(x时，0)(xf。证明：至少有一点)1,0(，使得：)1()1()()(2ffff。[分析]：在上面等式中对积分，得：Cffln)1(ln)(ln2即Cff)1()(2可取)1()()(2xfxfxF，这里0)1()0(FF。可用Rolle定理。例6设)(xf可微，则)(xf的任意两个零点之间必有)()(xfxf的零点。[分析]：假设ba,是)(xf的两相邻零点)(ba。要证：0)()(ff，),(ba。即1)()(ff。积分，得：Cfln)(ln，即Cef)(，亦即Cef)(。于是，可取xexfxF)()(，这里0)()(bFaF。可用Rolle定理。例7设)(xf在],[ba上可导，0)()(bfaf，当),(bax时，0)(xf。证明：对任何实数k都有),(ba，使kff)()(。[或)()(kff][分析]：在kff)()(两边对积分，整理得：kCef)(，即Cefk)(。可取kxexfxF)()(，这里0)()(bFaF。可用Rolle定理。例8设)(xf在],[ba上可导，0)()(bfaf，)(xg为任意可微函数则至少有一点),(ba，使0)()()(gff。[分析]：与例6和例7类似，可求得：)()()(xgexfxF，这里0)()(bFaF。例9设)(xf在),0[上可微，且21)(0xxxf，证明至少存在一点0，使22211)(f。[分析]：在22211)(f两边对积分，得)(tantan1tan111)(222tan222tdttdft令Cttdtdttt2sin212cos)sin(cos22CCtt21cossin可取21)()(xxxfxF由21)(0xxxf知：0)(lim)0(xFFx。由推广的Rolle定理即可证明。[附]：推广的Rolle定理：设)(xf在),0[上连续，在),0(内可导，且)(lim)0(xffx，则必有),0(，得0)(f。一、施托兹(Stolz)定理定理1：若ny，ny，且nnnnnyyxx11lim存在，则nnnyxlim存在，且有nnnnnnnnyyxxyx11limlim[证明]：设Ayyxxnnnnn11lim，则NnN:,0,0Ayyxxnnnn11即AyyxxAnnnn11，即nnnnnnyyAxxyyA111，于是，有：NNNNNNyyAxxyyA111121212NNNNNNyyAxxyyA232323NNNNNNyyAxxyyA……………………………………111nnnnnnyyAxxyyA将以上诸式相加，得：NnNnNnyyAxxyyA即AyyxxANnNn，亦即AyyxxNnNnAyyxxNnNnnlim而NnNnnyyxxlimNnNnNnnnyyxyyxlimlimnNnNnnNnnnyyyxyyyx1lim1limnnnyxlimnnnnnNnNnnnnnyyxxAyyxxyx11limlimlim[证毕][注]：当nnnnnyyxx11lim，则nnnyxlim。（证明略）定理2：若nnba,都以0为极限，且nb，则nnnbalim11limnnnnnbbaa。（只要右端极限存在）（证明略）定理3：若nnxlim存在（或为），则nnnnxnxxxlimlim21。[略证]：nxxxnn21limnnxxxxxnnnn1lim1111limnnxnnxlim定理4：若0nx，且nnnxx1lim存在，则nnnxlimnnnxx1lim。[略证]：nnnxlimnnxnelnlimnxnnelnlimnnxxnnne)1(lnln1limnnxxne1lnlimnnnxx1lim定理5：若0nx，且nnxlim存在，则nnnnxxxx121limnnxlim。[略证]：nnnnxxxx121limnnnnnxxxxxxxx121121limnnxlim二、极限的各种求法举例：例1为正整数kkkkknnn121lim111111limkkkkkknnnnn1111limkkknnnnkkknnnn11111lim1111!211)1(11lim12knnnkknkn11k（施托兹法）[解法二]：为正整数kkkkknnn121limnnnnnkkkn121limnniknin1lim110dxxk10111kxk11k（积分法）例2求nnnlim，nnn!lim[解法一]：nnnlimnnneln1limnnnnne)1(ln)1ln(limnnne1lnlim10ennn!limnnne)!ln(limnnnnne)1(!ln)!1(lnlim)1ln(limnne[解法二]：（由定理4、定理5）nnnlim11limnnn；nnn!limnnlim例3nnnn!limnnnnn!limnnnnnnn!)1()!1(lim1nnnnn)1(limennn1111lim[解法二]：nnnnnnnln)!ln(1!lnnnnnnlnlnln2lnln1ln1nnnnnln2ln1ln1ninin1ln11ln10)(dxxn1!limennnn例4设xxxxnn11sinsinsin,0sinsin，证明1sin3limxnnn[证明]：xnnn2sinlimxnnn2sin1limxxnnn221sin1sin11lim设xznsin，则zxnsinsin1，当n时，0z。xnnn2sinlim2201sin11limzzzzzzzz22220sinsinlimzzzzzz2240