独立随机变量和的分布

第十周独立随机变量和的分布与顺序统计量10.1.独立随机变量和的分布泊松分布和二项分布的可加性若11~XP，22~XP,,~mmXP，且12,,,mXXX相互独立，则1212~mmXXXP11~,XBnp，22~,XPnp,,~,mmXPnp，且12,,,mXXX相互独立，则1212~,mmXXXBnnnp回顾一下，第7周第3讲的最后，我们曾经介绍过泊松分布和二项分布的可加性。本节我们更一般地考虑独立随机变量和的分布，并引入卷积公式。下一周课我们要介绍大数定律和中心极限定理等概率论的极限理论，在极限理论的研究中，经常需要考虑独立随机变量和的分布问题。本节中，我们主要讨论两个独立随机变量的和的分布问题。**********************************************************相互独立的离散型随机变量和的分布离散型随机变量X和Y相互独立，分布律分别为(),()iiPXxxX和(),()ijPYyyY，ZXY也是一个离散型随机变量，其值域(){:(),()}ijijZxyxXyY，对所有的()kzZ有()()kkPZzPXYz()(,)iikixXPXxYzx()()()iikixXPXxPYzx或互换X和Y的位置，得到()()()().jkkjjyYPZzPXzyPYy**********************************************************例10.1.1两位射手各向自己的靶子独立射击，直到自己有一次命中时，停止射击。假设两位射手每次命中概率分别为1p和2p。求两射手均停止射击时，他们脱靶（未命中）总数的分布。解：记1X和2X分别为两位射手首次命中自己的靶子时所射击的次数，则11~()XGep，22~()XGep，且12,XX相互独立。记X为两射手均停止射击时的脱靶总数，则12(1)(1)XXX，对0,1,2,n12()(2)PXnPXXn1121(,2)nkPXkXnk1121()(2)nkPXkPXnk11111221nknkkqpqp11112212()nnkkqppqq1122021(1)()1nnkkppppp当12pp时，11122112()(1)(1)nnppPXnpppp当12pp时，211()(1)(1)nPXnnpp**********************************************************卷积公式相互独立的连续型随机变量X、Y的概率密度函数分别为()Xfx和()Yfy，则ZXY的概率密度函数为()()()ZXYfzfxfzxdx()()XYfzyfydy。这一公式的证明需要二重积分，这里略去。本课程中我们就不加证明地使用这一公式。**********************************************************例10.1.2设随机变量12,,,nXXX独立同分布，且1~()XExp，记1nniiSX，求nS的分布。解：先计算212SXX。当0z时，2()0Sfz；当0z时，利用卷积公式，212()()()SXXfzfxfzxdx()0zxzxeedx20zzedx2zze。再计算323SSX，当0z时，3()0Sfz；当0z时，对2S和3X再使用卷积公式，3123()()()SXXXfzfxfzxdx23320012()zzxzxzzxeedxxedxze最后，可以归纳证明，1nniiSX的概率密度函数为10100,,()()!,.nnnzSzezfznz直接用卷积公式来计算多个独立随机变量的和的分布往往是非常繁琐的，数学家引入了矩母函数和特征函数等工具简化计算，而理解和应用这些工具，还需要多元积分、复变函数等更多的数学知识。**********************************************************