数学史第二讲：古代希腊数学

第二讲古代希腊数学论证数学的发端亚历山大学派希腊数学的衰落古希腊的变迁雅典时期：公元前6－前3世纪公元前11世纪－前9世纪：希腊各部落进入爱琴地区公元前9－前6世纪：希腊各城邦先后形成亚历山大后期：公元前30年－公元640年西罗马帝国：公元395年－公元476年东罗马帝国：公元395年－公元1453年（610年改称拜占廷帝国）爱奥尼亚时期：公元前11世纪－前6世纪亚历山大时期：公元前323年－前30年罗马帝国：公元前27年－公元395年希腊时期希腊化时期波希战争（前499－前449）伯罗奔尼撒战争（前431－前404）马其顿帝国：前6世纪－前323年（前337年希腊各城邦承认马其顿的霸主地位，前334－前323亚历山大东征）前48－前30年凯撒、屋大维侵占埃及公元640年阿拉伯人焚毁亚历山大城藏书公元330君士坦丁大帝迁都拜占廷1古典时期的希腊数学(公元前600-前300年)古典时期的希腊数学泰勒斯(约公元前625-前547年)爱奥尼亚学派(米利都学派)创数学命题逻辑证明之先河泰勒斯定理圆的直径将圆分为两个相等的部分.等腰三角形两底角相等.两相交直线形成的对顶角相等.如果一个三角形有两角、一边分别与另一个三角形的对应角、边相等,那么这两个三角形全等.半圆上的圆周角是直角.哲学：万物源于水古典时期的希腊数学毕达哥拉斯(约公元前560-前480年)毕达哥拉斯学派μαθηματια古典时期的希腊数学毕达哥拉斯定理（希腊，1955）毕达哥拉斯学派完全数亲和数亲和数：如果两个整数，其中每一个数的真因子的和都恰好等于另一个数，那么这两个数，就构成一对亲和数。220与284是毕达哥拉斯最早发现的一对亲和数，同时也是最小的一对亲和数。因为220的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，而它们的和是284。284的真因子是1、2、4、71、142，其和恰好是220。至今，已经知道的亲和数已有1000对以上。完全数：完全数的真因子之和是它自己，就好像自己和自己是一对亲和数。最小的完全数是6=1+2+3。8大于它的真因子和:1+2+4。像4、8这样的数叫做亏数。相反凡小于其因子和的整数叫做盈数。帕提农神庙(前447－前432年）雅典时期：开创演绎数学古典时期的希腊数学古典时期的希腊数学伊利亚学派芝诺(约公元前490-前430年)芝诺悖论：运动不存在一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……古典时期的希腊数学芝诺悖论:阿基里斯阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了;阿喀琉斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿喀琉斯就永远也追不上乌龟。古典时期的希腊数学芝诺悖论:飞矢不动设想一支飞行的箭。在每一时刻，它位于空间中的一个特定位置。由于时刻无持续时间，箭在每个时刻都没有时间而只能是静止的。鉴于整个运动期间只包含时刻，而每个时刻又只有静止的箭，所以芝诺断定，飞行的箭总是静止的，它不可能在运动。古典时期的希腊数学诡辩学派(智人学派)三等分任意角古典几何三大作图问题化圆为方倍立方古典时期的希腊数学安提芬(约公元前480－前411年)的穷竭法诡辩学派(智人学派)林德曼（德，1852－1939年）古典时期的希腊数学柏拉图(约公元前427-前347年)柏拉图学派打开宇宙之迷的钥匙是数与几何图形亚里士多德(公元前384－前322年)（乌拉圭,1996）古典时期的希腊数学古希腊最著名的哲学家、科学家古典时期的希腊数学亚里士多德(公元前384-前322年)亚里士多德学派(吕园学派)形式逻辑方法用于数学推理矛盾律、排中律“吾爱吾师，吾尤爱真理”2亚历山大时期(公元前300-前30年)希腊化时期的数学亚历山大（匈牙利,1980）亚历山大时期：希腊数学黄金时代希腊化时期的数学希腊化时期的数学欧几里得(公元前325-前265年)•《原本》（Στοιχετα）•13卷•5条公理、5条公设•119条定义和465条命题•“几何无王者之道”•“无功利性”被广泛的认为是历史上最成功的教科书。《原本》第一卷：直边形，全等、平行公理、毕达哥拉斯定理、初等作图法等第二卷：几何方法解代数问题，求面积、体积第三、四卷：圆、弦、切线、圆的内接、外切第五、六卷：比例论与相似形第七、八、九、十卷：数论第十一、十二、十三卷：立体几何，包括穷竭法，是微积分思想的来源希腊化时期的数学希腊化时期的数学•5公理1.等于同量的量彼此相等.2.等量加等量,和相等.3.等量减等量,差相等.4.彼此重合的图形是全等的.5.整体大于部分.•5公设1.假定从任意一点到任意一点可作一直线.2.一条有限直线可不断延长.3.以任意中心和直径可以画圆.4.凡直角都彼此相等.5.若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角,那么把两直线无限延长,它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相交.希腊化时期的数学阿基米德(公元前287-前212年)数学之神“给我一个支点，我就可以移动地球。”阿基米德(公元前287－前212年)(希腊,1983)用穷竭法计算平面图形面积希腊化时期的数学数学上：几何用穷竭法计算平面图形面积将一个曲边图形“细”分成若干个“小的矩形或三角形”(即各种简单“直边形”)。首先分别求这些“小直边形的面积”然后将这些面积“加”起来，就求得该曲边图形的“近似面积”。求曲面体积也是按类似原理。显然，将一个曲边图形“分得越细”，细得以至于不可再细时，得到的“结果”将越“精确”，这就是“穷竭法”思想的精髓。“穷竭法”也被后人称为阿基米德原理。但阿基米德原理却没有“极限”概念，也不通过“坐标系”和“函数”来解决问题，故它还不能被称为“微积分”。而“穷竭”，实际就是“达到极限”，再不能继续往下进行的意思，但当时还不没有“极限”这一概念，所以阿基米德就形象地将这种方法用“穷竭”二字来形容了。阿基米德的几何著作是希腊数学的顶峰。他把欧几里得严格的推理方法与柏拉图鲜艳的丰富想象和谐地结合在一起，达到了至善至美的境界，从而“使得往后由开普勒、卡瓦列利、费马、牛顿、莱布尼茨等人继续培育起来的微积分日趋完美”。阿基米德研究出螺旋形曲线的性质，现今的“阿基米德螺线”曲线，就是因为纪念他而命名。物理上：浮力定律相传叙拉古赫农王让工匠替他做了一顶纯金的王冠。但是在做好后，国王疑心工匠做的金冠并非纯金，而这顶金冠确又与当初交给金匠的纯金一样重。国王请来阿基米德来检验皇冠。最初阿基米德对这个问题无计可施。有一天，他在家洗澡，当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，突然想到不同质料的东西，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水必不相等。他经过了进一步的实验以后，便来到了王宫，他把王冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢出来的水，发现放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多。这就说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大，密度不相同，所以证明了王冠里掺进了其他金属。这次试验的意义远远大过查出金匠欺骗国王，阿基米德从中发现了浮力定律（阿基米德原理）：物体在液体中所获得的浮力，等于它所排出液体的重量。（即广为人知的排水法）阿基米德对于机械的研究源自于他在亚历山大城求学时期，有一天阿基米德在久旱的尼罗河边散步，看到农民提水浇地相当费力，经过思考之后他发明了一种利用螺旋作用在水管里旋转而把水吸上来的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺旋提水器”。埃及一直到二千年后的现代，还有人使用这种器械。这个工具成了后来螺旋推进器的先祖。阿基米德非常重视试验，一生设计、制造了许多仪器和机械，值得一提的有举重滑轮、灌地机、扬水机以及军事上用的抛石机等。机械上军事上阿基米德的取火镜公元1200年，东罗马帝国一位并不为人特别信赖的历史学家对此有一番精彩的论述：“当马塞留斯将他们的舰队撤退到一箭之外时，这位老人——阿基米德搭建起一种六角形的镜子，在与镜子大小成一定比例的地方放了相似的四边形小镜子，可以用链环和铰链状的东西移动它们。当镜子将光束反射到目标时，船只燃起了可怕的火，一箭之遥，他把船只化成灰烬。”在19世纪的美国，一位执著于太阳能开发的发明家弗兰克·舒曼，就曾受益于这个传说带给他的启发。他知道，人类首次使用太阳能可以追溯到人类蒙昧初期，而希腊和罗马人手持光洁的铜制凹面镜“从空中的太阳光线获得无污染的纯火”，来点燃圣坛之火，也是不争的事实。在阿基米德之前的一个世纪，希腊数学家多西修斯就描述了反射镜如何能把太阳平行光线集中到一个点，并能产生比简单的球面镜更高的温度。后来，达·芬奇又在阿基米德的手稿中，发现了大量关于锡拉库扎取火镜的记载，这促使他构思建造一个直径长达6．4千米的神奇凹面镜，用这样的装备“人们能向染厂任何一个锅炉提供热量”。阿基米德利用杠杆原理制造了一种叫作石弩的抛石机，能把大石块投向罗马军队的战舰，或者使用发射机把矛和石块射向罗马士兵，凡是靠近城墙的敌人，都难逃他的飞石或标枪······阿基米德还发明了多种武器，来阻挡罗马军队的前进。根据一些年代较晚的记载，当时他造了巨大的起重机，可以将敌人的战舰吊到半空中，然后重重地摔下使战舰在水面上粉碎。投石器和起重机希腊化时期的数学阿基米德之死古罗马军队入侵叙拉古统帅马塞拉斯3亚历山大后期(公元前30-公元600年)希腊化时期的数学托勒密（埃及，90－165年）《天文学大成》希腊化时期的数学第一、二卷：地心体系的基本轮廓第三卷：太阳运动第四卷：月亮运动第五卷：计算月地距离和日地距离第六卷：日食和月食的计算第七、八卷：恒星和岁差现象第九－十三卷：分别讨论五大行星的运动，本轮和均轮的组合在这里得到运用希腊化时期的数学丢番图的《算术》(公元200-284年)希腊化时期的数学坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。丢番图的墓志铭xxxxx42157112161希腊化时期的数学丢番图的墓志铭古希腊数学落幕柏拉图学园被封闭公元529年东罗马皇帝查士丁尼（527－565）下令封闭了雅典的所有学校亚历山大图书三劫亚历山大图书馆：当时世界上藏书最多的图书馆第1次劫难：前47年，罗马凯撒烧毁了亚历山大港的舰队，大火殃及亚历山大图书馆，70万卷图书付之一炬第2次劫难：公元392年罗马狄奥多修下令拆毁塞拉皮斯希腊神庙，30多万件希腊文手稿被毁第3次劫难：公元640年阿拉伯奥马尔一世下令收缴亚历山大城全部希腊书籍予以焚毁