[工学]工程力学--材料力学第五、六章经典例题及讲解

圆环：Dyzd44446464(1)64yzzzIIIIDdD大小Dd其中复习第六章IbhZ312IdZ4644444()(1)6464ZDdDI26ZbhW332ZdW34(1)32ZDWZbhZZdDd1maxZMyIyyy12max当中性轴是横截面的对称轴时：2maxZMyImaxmaxmaxMWZmaxmaxMyIZ横截面上的最大正应力：Wz:抗弯截面模量WIyzzmaxy2y1y例1：图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，试求当最大正应力为最小时的支座位置。alaq⊕解：作弯矩图282qlqla22qa22qa支座位置直接影响支座截面和跨中截面上的弯矩值。当中性轴为截面的对称轴，最大拉、压应力相等时，只有支座处截面与跨中截面之弯矩的绝对值相等，才能使该梁的最大弯矩的绝对值为最小，从而使其最大正应力为最小。22822qlqlaqa取有效值0.207al例2：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比P1／P2＝？lP1PP2hzbbzh(b)(a)解：maxmax111126MWPlbhzmaxmax222226MWPlhbz由得maxmax[]:12PPhb12例3：矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？解：由公式maxmaxmaxMWMbhz26可以看出：该梁的承载能力将是原来的2倍。例4：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？a2a2l2l2PABCDAB2P2P2aL2aLMPlaABmax()4PaCDMPaCDmax4主梁AB副梁CDMM解：主梁AB的最大弯矩PlaPa44()副梁CD的最大弯矩MPaCDmax4由MMABCDmaxmax得al2MPlaABmax()4例5：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为［σ+］和［σ-］，则y1和y2的最佳比值为多少?(Ｃ为截面形心)PCy1y2z解：12[](1)(2)[]yy得：max1max[]zMyImax2max[]zMyI()1()2例6：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力［σ］=160MPa，校核该梁的强度。10kN/m2m4m100200解：由弯矩图可见Mmax20kNm10kN/m2m4m10020045kN15kN202515M()kNm2011.25maxmaxzMW20100102632..30MPa[]该梁满足强度条件，安全Fs()kN例7：图示铸铁梁，许用拉应力[σ+]=30MPa，许用压应力[σ-]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。9kN4kNCz52881m1m1mABCDmax2.588CzI9kN4kNCz52881m1m1mM(kNm)2.5kN10.5kN2.54ABCDmax2.552CzImax452BzImax488BzIC截面：B截面：288.MPa170.MPa273.MPa461.MPa满足强度要求本题maxC可不必计算为什么？例8：简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变片，测得其应变ε=6×10-4，材料的弹性模量E=200GPa，求载荷P的大小。04.m05.m1mPABCD4020解：04.m05.m1mPABCD4020C点的应力CE2001061034120MPaC截面的弯矩MWCCzMRCA05.由得3.2kNP0504..P02.P640Nm640Nm例9：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？q40kN/m15.mABC20030015.mq40kN/m15.mABC20030015.m解：C截面下边缘的应力CCzMWC截面的弯矩MqlC2845kNmCE应变值15MPa1510200106975105.=75με例10：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为10mm，E=10GPa，求载荷P的大小。P2mABC2003002mP2mABC2003002m解：AClxx()d0/2xdx()xExld0/2MxWExzl()d0/2PxWExzl2d0/2PlWEz216PWElzAC162164020361051022103..150kN例11：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。bhd（使Wz最大）解：bhd222bhdWbhz26bdb()226Wbdbz22620由此得bd3hdbd22232hb≈3:2例12:跨长l=2m的铸铁梁受力如图示,已知材料许用拉、压应力分别为30MPa和90MPa试根据截面最为合理的要求，确定T形梁横截面的一个参数，并校核此梁的强度。BAP=80kN1m2m22060220解：设z轴过形心最为合理时z1y2ymaxmax12yy170ymm2210ymmBAP=80kN1m2m22060220z1y2y1220220(60)602203027022060220ymm=24mm3322242202206024220(210110)22060(7030)1212zI646499.31099.310mmmmax8024044PlMkNmmax1max28.3zMyMPaI＜30MPa梁满足强度要求还需校核最大工作压应力吗？例13:图示悬臂梁在自由端受集中力作用,P=20kN。试在下列三种截面形状下，比较所耗材料：(1)高宽比h/b=2的矩形；(2)圆形；(3)工字钢。140MPa1lmP=20kN解:作弯矩图Plmax20MPlkNmmaxmaxzMW由强度条件333max6201014314010zMWmcm(1)矩形26zbhWb=6cmh=12cm2172Acm(2)圆形332zdWd≈11.3cm22100Acm(3)工字形查型钢表，取16号工字钢3141zWcm2326.1Acm例14：一槽形截面铸铁梁，试求梁的许可荷载F已知b=2m,44549310zImm30MPa90MPaFCBDAbbbFqb12040180y2020解:求出中性轴位置作弯矩图z86134⊕Fb/2Fb/4分析可知，不论截面B或截面C，梁的强度均由最大拉应力控制6max8420.13443010549310CFmmPam6max8420.08623010549310BFmmPam24.6FkN19.2FkNF腹板翼缘在腹板上：bBhHy2、工字形截面梁的剪应力max43SFA最大剪应力：SFzy3、圆截面梁的剪应力例15：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，试求最小直径dmin。q20kN/m4mABd解:跨中截面弯矩最大，支座附近截面剪力最大q20kN/m4mABdmax40kN,SFmaxmax[]zMWMqlmax2840kNm由正应力强度条件：即40103216010336d得d137mmmaxmax4[]3SFA即434010410010326d得d261.mm由剪应力强度条件：所以dmin137mm例16：两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图所示。若材料许用应力为[]，其许可载荷[P]为多少？如将两个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许用剪应力为[τ]，求螺栓的最小直径？b2h2hPl解:一、两梁叠放承载时，每梁将各自弯曲两梁都有自己的中性层每梁的最大正应力：WM2maxmax其中：246222bhhbWmaxmax2122MPlWbhPlMPFSb2h2h二、当两梁用螺栓联为一体时，中性轴只有一个：maxmax26MPlbhWPmax26[]Plbh由正应力强度条件：2[][]6bhPl可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。三、求螺栓最小直径：螺栓主要是受剪zzττmax3322SFPAbh设梁达到了许用载荷[P]2max3[]3[][]2264Pbhhbhbhll中性轴处：全梁中性层上的剪力：[]4SbhFbl由螺栓剪切强度条件：2[]4[]4SbhFdA螺可得：][][bhd][][minbhd22200238[]3[][]24812hhzzSMMbhNbdyybdyIIPlbhPlbhFbhh讨论：与何力平衡？SFSF例17：简易起重设备，起重量P=30kN，跨长l=5m，吊车大梁AB由20a号工字钢制成，试校核梁的强度。170MPa100MPaABP解:査表6323710zWm2max17.210zzImS3710dm当荷载移至跨中时：max37.54PlMkNmmaxmax158zMMPaW＜＜170MPa当荷载移至支座附件时：max30SFPkNmaxmaxmax24.9SzzFMPaIdS100MPa梁的强度符合要求例18：上例吊车大梁，起重量增至P=50kN，跨长l=5m，梁AB中段用横截面为120mmХ10mm而长度为2.2m的钢板加强。校核梁的强度。170MPa100MPaABP1.4m1.4m2.2m12020022010z解:査表:20a工字钢84237010zIm6323710zWmABP1.4m1.4m2.2m12020022010z组合截面惯性矩：2zzzIII钢板82128422010237010210120()1050201022m当荷载移至跨中时：max62.54PlMkNm33maxmaxmax822062.510102502010zMyPaI137MPa＜170MPa剪应力请自行校核！ABP1.4m1.4m2.2m12020022010z还需校核变截面处!!!当荷载移至变截面处时，对变截面最不利为什么？max501.43.650.45MkNm3maxmax650.41021323710zMPaMPaW＞170MPa梁的强度不符合要求怎么办？加强板加长！加长多少？例19：矩形截面木梁跨长l=3.6m,截面尺寸h/b=3/2,分布荷载集度q=0.96kN/m,试设计该梁的截面尺寸。许用应力10MPaqhbq30zy解:跨中为危险截面22max0.96sin303.60.7888zyqlMkNm22max0.96cos303.61.3588yzqlMkNmmaxmaxmaxyzyzMMWW2266yzhbWbhWh/b=3/2b=0.0876m,h=0.131m可选b=90mm,h=135mm请注意计算单位！您知道危险点在何处吗？max