例谈向量思想在高中数学中的应用

例谈向量思想在高中数学中的应用摘要：“向量”可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节，其重要性不言而喻。本文结合具体的例题分析了向量思想在函数、不等式、三角、平面几何、立体几何、解析几何问题中的作用。关键词：向量；向量思想；数学教学向量与向量思想是现代数学的重要标志，它是沟通“数”与“形”的桥梁、衔接代数与几何的纽带，现行高中新教材把它引入中学数学，使之成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介，与数学其他分支相互生辉、浑然一体，进一步发展和完善了中学数学的知识结构体系，拓宽了研究和解决数学问题的思维通道，也为激发和培养学生的探索精神和创新意识提供了更广泛的途径。本文举例说明向量在高中数学中的作用。一、向量在平面解析几何中的应用由于向量作为一种有向线段，本身就是有向直线上的一段，且向量的坐标可以用起点、终点的坐标来表示，使向量与平面解析几何特别是其中有关直线的部分保持着一种天然的联系。例1求证：三角形的三条高交于一点。证：如图，在△abc中，设高ad、be相交于o，于是只要证co⊥ab就可以了。设=a，=b，=c，则=b-a，=c-b，=a-c∵ao⊥bc，∴a·（c-b）=0，即a·c-a·b=0。同理b·a-b·c=0。两式相加得a·c-b·c=0，即（a-b）·c=0。∵c≠0，a-b≠0，∴a-b与c垂直，即co⊥ab.。二、向量在三角中的应用当我们利用单位圆来研究三角函数的几何意义时，表示三角函数就是平面向量。利用向量的有关知识可以导出部分诱导公式。由于用向量解决问题时常常是从三角形入手的，这使它在三角里解决有关三角形的问题发挥了重要作用，一个最有力的证据就是教材中所提供的余弦定理的证明：只要在根据向量三角形得出的关系式的两边平方就可利用向量的运算性质得出要证的结论，它比用综合法提供的证明要简便得多。例2证明两角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ证在直角坐标系xoy内作单位圆o，并以ox为始边作角α，角β，终边交圆o于p1、p2，则=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），设与的夹角为θ，则一定存在整数k，使得θ=2kπ+（α-β）或θ=2kπ-（α-β）。2kπ-（α-β）.∴cosθ=cos（α-β）∵cosθ==（cosα，sinα）·（cosβ，sinβ）=cosαcosβ+sinαsinβ∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.三、向量知识在代数中的应用利用向量数量积的一个重要性质|a·b|≤|a|·|b|，变形为|a·b|2≤|a|2·|b|2可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，采用构造向量去解往往能化难为易。例4：设x∈r，求函数y=-的值域。分析：由函数的结构，可将其变形为向量模的形式，然后再利用向量模的性质进行解题：y=-=-，构建向量a=（x+，）b=（x-，）则有y=|a|-|b|，因为a-b=（1，0）且|a|-|b||a-b|，所以|a|-|b||a-b=1所以函数y=-的值域为（-1，1）。四、向量知识在立体几何中的应用现行立体几何最大的变化是引进空间向量，空间向量已是立体几何中的重要内容，它改变了以往立体几何中单一的逻辑证明的思维方法和解题方法，因为用向量来运算避免了繁琐的定性分析，使问题得到了大大简化。例6如图，三棱柱abc-a1b1c1中，∠bac=，∠baa1=，∠caa1=，ab=ac=1，aa1=2，点o是b1c与bc1的交点。（1）求ao与bc所成的角；（2）平面abc与平面b1bc1c是否垂直？为什么？分析：已知条件集中在a处，故选择ab，ac，aa1一组基底。解：（1）设ab=a，ac=b2aa1=c1d为bc的中点，则ao=ad+do=（ab+ac）+do=（a+b+c）bc=ac-ab=b-a1ao·bc=（a+b+c）·（b-a）=（a·b+b·b+c·b-a·a-b·a-c·a）所以ad⊥bc，故ad⊥dc，又ad·bb1=ad·aa1=（a+b）·c=（|a|·|b|cos+2|b|·|c|cos）=0所以ad⊥bb1，故ad⊥bb1。于是ad⊥面bcc1b1，所以adc⊥面bcc1b1。像本题用向量解几何题的思路和方法，是向量应用的上乘之作，其实这种用法的出发点非常朴素；向量的纯粹运算用的只是向量之间的互相表示。五、在复数中的应用复数的几何意义，在复平面上可以用向量来表示复数。这样复数的加减法，就可以看成是向量的加减，复数的乘除法可以用向量的旋转和数乘向量得到另外向量所建立的数形对应也可用来证明代数中的一些恒等式、不等式问题，只要建立一定的数模型，可以较灵活地给出证题方法。例7已知复数z1=i（1-i）3，（ⅰ）求argz1及|z1|；（ⅱ）当复数z满足|z|=1，求|z-z1|的最大值.（2001年高考题）解（i）易求得=2-2i，arg=，|z1|=2.（ⅱ）∵|z1|=1，∴z对应点在以原点为圆心的单位圆上，复数z-z1对应的向量为。显然，当向量过圆心时模最大，最大值为||+||=1+2。总之，平面向量已经渗透到中学数学的许多方面，向量法代替传统教学方法已成为现代数学发展的必然趋势。向量由于其代数和几何的双重性、与物理学发展的密切联系、对传统几何改造的强有力工具性特点以及现代数学与初等数学的衔接上所具有的特殊地位，所以在高中数学中学好向量有助于学生体会数学与现实生活和其他学科的联系，理解数学运算的意义及价值，还可将其作为今后处理几何问题的一种方法，同时体会数形结合思想，增进对数学本质的理解。