2018年考研数学三试题与答案解析(完整版)

Borntowin2018年考研数学三试题与答案解析（完整版)——跨考教育数学教研室一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.下列函数中，在0x处不可导的是（）。A.()sin()fxxxB.()sin()fxxxC.cos()fxxD.()cos()fxx【答案】D【解析】A可导：-0000sinsinsinsin0limlim0,0limlim0xxxxxxxxxxxxffxxxxB可导：-0000sinsinsinsin0limlim0,0limlim0xxxxxxxxxxxxffxxxxC可导：22-000011cos-1cos-1220limlim0,0limlim0xxxxxxxxffxxxxD不可导：-0000-11-cos-1cos-111220limlim,0limlim-2200xxxxxxxxffxxxxff2.已知函数fx在0,1上二阶可导，且100,fxdx则A.当0fx时，102fB.当0fx时，102fC.当0fx时，102fD.当0fx时，102f【答案】D【解析】BorntowinA错误：11000,10111,2,022fxfxdxdxfxxfxB错误：100212111111,033243120,20,fxdxdxfxxffxxC错误：1100111,0220,10,2fxdfxxxfxdxfxD正确：方法1：由0fx可知函数是凸函数，故由凸函数图像性质即可得出102f方法2：21112200011111()()()()()(),22222111111()()()()()()()()()02222221()0,()0.2fxffxfxxfxdxffxfxdxffxdxfxf介于和之间,又故3.设2222222211,,1cos,1xxxMdxNdxKxdxxe则A.MNKB.MKNC.KMND.KNM【答案】C【解析】222222(1)11-,1cos1,22()1,(0)0,()10,()0;,0()0221-,()01NM,C22xxxxMdxdxxxxKMfxxeffxexfxxfxxxfxe时，所以令当时，当时，所以时，有，从可有，由比较定理得故选Borntowin4.设某产品的成本函数CQ可导，其中Q为产量，若产量为0Q时平均成本最小，则()A.00CQB.00CQCQC.000CQQCQD.000QCQCQ【答案】D【解析】根据平均成本CQCQ，根据若产量为0Q时平均成本最小，则有000000002200QQQQCQQCQCQQCQCCQQCQQQ5.下列矩阵中，与矩阵110011001相似的为A.111011001B.101011001C.111010001D.101010001【答案】A【解析】方法一：排除法令110011001Q，特征值为1,1,1，2rEQ选项A：令111011001A，A的特征值为1,1,1，0110012000rEAr选项B：令101011001B，B的特征值为1,1,1，0010011000rEBr选项C：令111010001C，C的特征值为1,1,1，0110001000rECrBorntowin选项B：令101010001D，D的特征值为1,1,1，0010001000rEDr若矩阵Q与J相似，则矩阵EQ与EJ相似，从而rEQrEJ，故选（A）方法二：构造法（利用初等矩阵的性质）令110010001P，1110010001P1110111011011001001PP，所以110111011011001001与相似故选（A）6.设,AB为n阶矩阵，记()rX为矩阵X的秩，(,)XY表示分块矩阵，则A.()().rAABrAB.()().rABArAC.()max{()()}.rABrArB，D.()().TTrABrAB【答案】（A）【解析】(,)(,)[(,)]()rEBnrAABrAEBrA故选（A）7.设()fx为某分布的概率密度函数，(1)(1)fxfx，200.6fxdx，则{0}PXA.0.2B.0.3C.0.4D.0.6【答案】A【解析】特殊值法：由已知可将()fx看成随机变量21,XN的概率密度，根据正态分布的对称性，00.2PX8.已知12,,,nXXX为来自总体2~(,)XN的简单随即样本，11niiXXn，2*21111(),()11nniiiiSXXSXnn，则BorntowinA.()~()nXtnSB.()~(1)nXtnSC.*()~()nXtnSD.*()~(1)nXtnS【答案】B【解析】2,XNn，22211,0,1nSXNnn，又2XS与相互独立，所以1nXtnS，故选项B正确，而A错.*22210,1,nSXNn，2XS与相互独立所以*1nXtnnS，故选项C，D错。二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9.曲线2()2lnfxxx在其拐点处的切线方程是__________________.【答案】43yx【解析】22lnyxx，定义域为{0}xx，2'2yxx，22''2yx，令''0y，则01x，由于0x，故01x，故拐点为(1,1)，0'()4yx，则过拐点(1,1)的切线方程为14(1)yx即43yx.10.2arcsin1xxeedx____________.【答案】2arccos1xxxeeeC.【解析】2222arcsin1arcsin1arcsin1cossincoscoscossinarccos1xxxxxxxxeedxedetetdttuuuduuuuduuuuCeeeC11.差分方程25xxyy的解为__________________.Borntowin【答案】12=25xxyCC【解析】2221121212525,200,2,2,()5,,525xxxxxxyyyyrrrrCCfxyaayCC特征方程为：齐次形式的通解：由于故特解设为代入得综上，通解为12.设函数()fx满足()()2()()fxxfxxfxxox，且(0)2f，则(1)f____.【答案】2e【解析】220()()2()()()()lim2()()2()()(0)2()2(1)2xxxfxxfxxfxxoxfxxfxxfxfxxfxxfxCeCffxefe，13.设A为3阶矩阵，123,,为线性无关的向量组.若11232A，2232A，323A，则A的实特征值为_______________.【答案】2【解析】123123123200(,,)(,,)(,,)111121AAAA123,,线性无关,123,,P可逆,1200111121PAPBAB与相似，特征值相等22230EB实特征值214.已知事件,,ABC相互独立，且1()()()2pApBpC，则(|)pACAB________.【答案】13【解析】Borntowin13PACABPACABCPACPABCPABCPACABPABPABPAPBPABPAPCPAPBPAPB三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.1lim()2xxaxbex,求,ab【答案】11ab，【解析】方法1：11000()1lim()ln()(1())1(1)()()limln2ttxxxtttabteaxbexttabttotaabtottt故10121aaabb方法2：111lim()lim(){[1()]}1lim[(1)()()]2.xxxxaxbexaxboxxxbaxabaxboxx故10121aaabb16.求2,DxdxdyD由23(1)yx与3yxy轴围成【答案】333216【解析】223(1)22203333216xxDxdxdydxxdy17.一根绳长2m,截成三段，分别拆成圆、正三角形、正方形，这三段分别为多长时所得的面Borntowin积总和最小，并求该最小值。【答案】【解析】假设圆的半径为x，正方形边长为y，正三角形边长为z，则有2432,0,0,0xyzxyz令2223,,=24324fxyzxyzxyz2223,,=24324220240330224320fxyzxyzxyzfxxfyyfzzxyz求解上述方程得到，驻点为11,2,23+4+33最小面积为，222min123231=4+4+33+4+33+4+33+4+33S。18.已知201cos2(1)nnnxaxx，求na【答案】【解析】201cos2(1)nnnxaxx,根据201cos12!nnnttn，则2201cos2122!nnnnxxn；根据0111nnnxx，则1201111111nnnnnnxnxxx