北京海淀区2018年高三上学期期末理科数学试题

1北京高分英语海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）复数12iiA.2iB.2iC.2iD.2i（2）在极坐标系中Ox，方程2sin表示的圆为A.B.C.D.（3）执行如图所示的程序框图，输出的k值为A.4B.5C.6D.7（4）设m是不为零的实数，则“0m”是“方程221xymm表示的曲线为双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（5）已知直线0xym与圆22:1Oxy相交于,AB两点，且AOB为正三角形，则实数m的值为A.32B.62C.32或32D.62或62（6）从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为A.15B.25C.35D.45（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为16②三棱锥的四个面全是直角三角形2北京高分英语③三棱锥的四个面的面积最大的是32所有正确的说法是A.①B.①②C.②③D.①③（8）已知点F为抛物线2:2(0)Cypxp的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误．．的是A.使得MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个B.使得MFK为直角三角形的点M有且仅有4个C.使得4MKF的点M有且仅有4个D.使得6MKF的点M有且仅有4个第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）点(2,0)到双曲线2214xy的渐近线的距离是.（10）已知公差为1的等差数列na中，1a，2a，4a成等比数列，则na的前100项和为.（11）设抛物线2:4Cyx的顶点为O，经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于,AB两点，则OAOB.（12）已知(51)nx的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则n.（13）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为42，点M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段11AC上，若1PM，则PQ长度的最小值为.3北京高分英语（14）对任意实数k，定义集合20(,)20,0kxyDxyxyxyRkxy.①若集合kD表示的平面区域是一个三角形，则实数k的取值范围是；②当0k时，若对任意的(,)kxyD，有(3)1yax恒成立，且存在(,)kxyD，使得xya成立，则实数a的取值范围为.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）如图，在ABC中，点D在AC边上，且3,7,,36ADBCABADBC.（Ⅰ）求DC的值；（Ⅱ）求tanABC的值.（16）（本小题13分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小．．．．，速．度越快．．．，单位是MIPS）测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品牌A3691041121746614品牌B2854258155121021（Ⅰ）从品牌A的12次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；（Ⅱ）从12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.4北京高分英语（17）（本小题14分）如题1，梯形ABCD中，//,,1,2,ADBCCDBCBCCDADE为AD中点.将ABE沿BE翻折到1ABE的位置，如图2.（Ⅰ）求证：平面1ADE平面BCDE；（Ⅱ）求直线1AB与平面1ACD所成角的正弦值；（Ⅲ）设,MN分别为1AE和BC的中点，试比较三棱锥1MACD和三棱锥1NACD（图中未画出）的体积大小，并说明理由.（18）（本小题13分）已知椭圆22:29Cxy，点(2,0)P（Ⅰ）求椭圆C的短轴长和离心率；（Ⅱ）过(1,0)的直线l与椭圆C相交于两点,MN，设MN的中点为T，判断TP与TM的大小，并证明你的结论.（19）（本小题14分）已知函数2()222xfxeaxx.5北京高分英语（Ⅰ）求曲线()yfx在点处的切线方程；（Ⅱ）当0a时，求证：函数()fx有且仅有一个零点；（Ⅲ）当0a时，写出函数()fx的零点的个数.（只需写出结论）（20）（本小题13分）无穷数列na满足：1a为正整数，且对任意正整数n，1na为前n项1a，2a，，na中等于na的项的个数.（Ⅰ）若12a，请写出数列na的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M，必存在*kN，使得kaM；（Ⅲ）求证:“11a”是“存在*mN，当nm时，恒有2nana成立”的充要条件。6北京高分英语海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（理科）2018.1阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678选项ADBADCDC二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)（9）255（10）5050（11）2（12）6（13）33（14）①(1,1)②1[2,]5三、解答题:本大题共6小题，共80分.15.（本小题13分）解：（Ⅰ）如图所示，366DBCADBC，…………………….1分故DBCC，DBDC……………………….2分设DCx，则DBx，3DAx.在ADB中，由余弦定理2222cosABDADBDADBADB……………………….3分即22217(3)2372xxxxx，……………………….4分解得1x，即1DC.……………………….5分（Ⅱ）方法一.在ADB中，由ADAB，得60ABDADB，故362ABCABDDBC……………………….6分在ABC中，由正弦定理sinsinACABABCACB……………………….7分7，故2sin7ABC，……………………….9分由(,)2ABC，得3cos7ABC，……………………….11分22tan333ABC………………………13分方法二.在ADB中，由余弦定理2227191cos227127ABBDADABDABBD……………………….7分由(0,)ABD，故33sin27ABD……………………….9分故tan33ABD……………………….11分故333tantan263tantan()36331tantan13363ABDABCABDABD………………………13分16.（本小题13分）（Ⅰ）从品牌A的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有：测试1、2、5、6、9、10、11，共7次设该测试结果打开速度小于7为事件A，因此7()12PA……………………….3分（Ⅱ）12次测试中，品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数有：测试1、3、4、5、7、8，共6次随机变量X所有可能的取值为：0，1，2，330663121(0)11CCPXC21663129(1)22CCPXC12663129(2)22CCPXC8(3)11CCPXC……………………….7分随机变量X的分布列为X0123P111922922111……………………….8分19913()0123112222112EX……………………….10分（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分；结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.…………………13分.标准1:会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准2:会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B）标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于B）标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件9）标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3.后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3.故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于B）标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2.故品牌A和品牌B打开文件的速度相当）参考数据期望前6次后6次12次品牌A5.509.837.67品牌B4.3311.838.08品牌A与品牌B4.9210.83方差前6次后6次12次品牌A12.3027.3723.15品牌B5.0731.7732.08