2015高考数学真题-湖南理科

专注数学成就梦想年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知21i1iz（i为虚数单位），则复数z（）.A.1iB.1iC.1iD.1i2.设A，B是两个集合，则“ABA”是“AB”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图，如果输入3n，则输出的S().A.67B.37C.89D.494.若变量x，y满足约束条件1211xyxyy…„„，则3zxy的最小值为（）.A.7B.1C.1D.25.设函数ln1ln1fxxx，则fx是（）.A.奇函数，且在0,1上是增函数B.奇函数，且在0,1上是减函数C.偶函数，且在0,1上是增函数D.偶函数，且在0,1上是减函数6.已知5axx的展开式中含32x的项的系数为30，则a（）.A.3B.3C.6D.67.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布开始输入nS=S+12i-1()2i+1()i=1,S=0i=i+1in?输出S结束是否否专注数学成就梦想0,1N的密度曲线）的点的个数的估计值为（）.A.2386B.2718C.3413D.47728.已知点A，B，C在圆221xy上运动，且ABBC.若点P的坐标为2,0，则PAPBPC的最大值为（）.A.6B.7C.8D.99.将函数sin2fxx的图像向右平移π02个单位后得到函数gx的图像，若对满足122fxgx的1x，2x，有12minπ3xx，则（）.A.5π12B.π3C.π4D.π610.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（）.A.89πB.169πC.34(21)πD.312(21)πC11yxO俯视图侧视图正视图122221专注数学成就梦想第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.201dxx.12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是.1300345668889141112223344555667815012233313.设F是双曲线2222:1xyCab的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为.14.设nS为等比数列na的前项和，若11a，且13S，22S，3S成等差数列，则na.15.已知32,,xxafxxxa„，若存在实数b，使函数gxfxb有两个零点，则实数a的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共75分.请考生在16题中任选两小题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的前两题计分.16.（本小题满分12分）（1）如图所示，在圆O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，求证：（i）180MENNOM；（ii）FEFNFMFO.（2）已知直线352:132xtlyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建NMFEDCBAO专注数学成就梦想立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos.（i）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（ii）设点M的直角坐标为5,3，直线l与曲线C的交点为A，B，求||||MAMB的值.（3）设0a，0b，且11abab.（i）2ab…；（ii）22aa与22bb不可能同时成立.17.（本小题满分12分）设ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanabA，且B为钝角.（1）证明：π2BA；（2）求sinsinAC的取值范围.18.（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.专注数学成就梦想（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.19.（本小题满分13分）如图所示，已知四棱台1111ABCDABCD上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA，且1AA底面ABCD，点P，Q分别在棱1DD，BC上.（1）若P是1DD的中点，证明：1ABPQ；（2）若//PQ平面11ABBA，二面角PQDA的余弦值为37，求四面体ADPQ的体积.20.（本小题满分13分）已知抛物线21:4Cxy的焦点F也是椭圆22222:10yxCabab的一个焦点，1C与2C的公共弦的长为26.（1）求2C的方程；QPB1A1C1D1BACD专注数学成就梦想（2）过点F的直线l与1C相交于A，B两点，与2C相交于C，D两点，且AC与BD同向.（ⅰ）若||||ACBD，求直线l的斜率；（ⅱ）设1C在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，MFD△总是钝角三角形.21.（本小题满分13分）已知0a，函数esin0,axfxxx.记nx为fx的从小到大的第n*nN个极值点,证明：（1）数列nfx是等比数列；（2）若21e1a…，则对一切*nN，nnxfx恒成立.