2015全国1高考真题数学理科

专注数学成就梦想绝密★启封并使用完毕前试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设复数z满足1i1zz，则z（A）1（B）2（C）3（D）2（2）sin20cos10cos160sin10（A）32（B）32（C）12（D）12（3）设命题:pnN，22nn，则p为（A）nN，22nn（B）nN，22nn„（C）nN，22nn„（D）nN，22nn（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312（5）已知00,Mxy是双曲线22:12xCy上的一点，1F，2F是C的两个焦点，若120MFMF，则0y的取值范围是（A）33,33（B）33,66（C）2222,33（D）2323,33专注数学成就梦想（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛（7）设D为ABC△所在平面内一点，3BCCD，则（A）1433ADABAC（B）1433ADABAC（C）4133ADABAC（D）4133ADABAC（8）函数cosfxx的部分图像如图所示，则fx的单调递减区间为（A）13,44kk，kZ（B）132,244kk，kZ（C）13,44kk，kZ（D）132,244kk，kZ（9）执行右面的程序框图，如果输入的0.01t，则输出的n（A）5（B）6（C）7（D）8否是输出nStm=m2,m=n+1S=S-mS=1,n=0,m=12输入t开始结束15414Oyx专注数学成就梦想（10）52xxy的展开式中，52xy的系数为（A）10（B）20（C）30（D）60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620，则r（A）1（B）2（C）4（D）8（12）设函数e21xfxxaxa，其中1a，若存在唯一的整数0x使得00fx，则a的取值范围是（A）3,12e（B）33,2e4（C）33,2e4（D）3,12e第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）若函数2lnfxxxax为偶函数，则a.（14）一个圆经过椭圆221164xy的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.（15）若x，y满足约束条件10040xxyxy…„„，则yx的最大值为.（16）在平面四边形ABCD中，75ABC，2BC，则AB的取值范围是.俯视图正视图r2rr2r专注数学成就梦想三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）nS为数列na的前n项和，已知0na，2243nnnaaS.(Ⅰ)求na的通项公式；（Ⅱ）设11nnnbaa，求数列nb的前n项和．（18）（本小题满分12分）如图所示，四边形ABCD为菱形，120ABC，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，2BEDF，AEEC．（Ⅰ）求证：平面AEC平面AFC；（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．（19）（本小题满分12分）某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费ix和年销售量1,2,,8iyi数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xyw21niixx21niiww1niiixxyy1niiiwwyy46.65636.8289.81.61469108.8表中iiwx，118niiww，（Ⅰ）根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？年销售量/t年宣传费/千元366206005805605405205004805654525048464442403834FEDCBA专注数学成就梦想（Ⅱ）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系式为0.2zyx，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费49x时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11,uv22,uv，，,nnuv，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为121ˆniiiniiuuvvuu，ˆˆvu.（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，曲线2:4xCy与直线:0lykxaa交于M，N两点.（Ⅰ）当0k时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.（21）（本小题满分12分）已知函数214fxxax，lngxx（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线yfx的切线；（Ⅱ）用min,mn表示m，n中的最小值，设函数min,hxfxgx0x，讨论hx零点的个数.请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E.（Ⅰ）若D为AC的中点，求证：DE是O的切线；（Ⅱ）若3OACE，求ACB的大小.（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程EDCOBA专注数学成就梦想中，直线1:2Cx，圆222:121Cxy，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C，2C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C的极坐标为4R，设2C与3C的交点为M，N，求2CMN△的面积.（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12fxxxa，0a.（Ⅰ）当1a时，求不等式1fx的解集；（Ⅱ）若fx的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.本文由洞穿高考数学辅导丛书研发部提供