重庆市第八中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题-理

1重庆八中2015—2016学年度（下）半期考试高二年级数学试题(理科)一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知izi112（i为虚数单位），则复数z（）iA1.iB1.iC1.iD1.2.设,Rx则“12x”是“022xx”的（）.A充分不必要条件.B必要不充分条件.C充要条件.D既不充分也不必要条件3.已知nm,是两条不同的直线，,,是三个不同平面，下列命题正确的是（）.A若//,//nm，则nm//.B若,，则//.C若//,//mm，则//.D若nm,，则nm//4.当3,7nm时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）7.A42.B210.C840.D4题5题5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）43.A4.B42.C3.D6.5个大学生分配到三个不同的村庄当村官，每个村庄至少有一名大学生，其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为（）.14A.35B.70C.100D7.已知5xax的展开式中含23x的项的系数为30，则a（）23.A3.B6.C6.D8.设曲线11xxy在点2,3处的切线与直线01yax垂直，则a（）2.A2.B21.C21.D9．从0，1，2，3，4，5这六个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）.300A.216B.180C.162D10.一个正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心）的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）33.4A3.3B3.4C3.12D11.五个人站成一排照相，其中甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同站法有（）24.A种60.B种48.C种36.D种12.已知抛物线的焦点是F，准线是l，M是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆的个数可能是（）A.0,1B.1,2C.2,4D.0,1,2,4二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置上.13.在各项均为正数的等比数列na中，若46822,1aaaa，则6a的值是____.14.从9,,3,2,1这9个整数中取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法有____种.15.211nxxx的展开式的各项系数和为64，则展开式中5x项的系数等于____.16.设函数Rmxmxxf,ln.若对任意1,0abafbfab恒成立，则m的取值范围为_______.三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题共12分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问6分）在ABC中，内角CBA,,所对的边分别为cba,,，且8cba.（1）若25,2ba，求ABC的面积；（2）若CABBAsin22cossin2cossin22，且ABC的面积CSsin29，求a和b的值.18.（本小题共12分，第（Ⅰ）问3分，第（Ⅱ）问4分，第（Ⅲ）问5分）3八中高三某班的一诊测试成绩的茎叶图、频率分布直方图以及频率分布表中的部分数据如下，请据此解答如下问题：（1）求该班的总人数；（2）将频率分布表以及频率分布直方图的空余位置补充完整；（3）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份试卷分数在[90，100]之间的概率.19.（本小题共12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分）如图，已知正三棱柱111CBAABC的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱1CC上，且不与点C重合.（1）当1CF时，求证：CAEF1;（2）设二面角EAFC的大小为，求tan的最小值.20.（本小题共12分，第（Ⅰ）问3分，第（Ⅱ）问9分）已知椭圆:C12222byax（0ab）与y轴的交点为A,B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为b22．（1）求椭圆C的离心率；（2）设2b，直线4ykx与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上．21.（本小题共12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分）已知函数12bxaxexfx(Rba,)，71828.2e为自然对数的底数.（1）设xg是函数xf的导函数，求函数xg在区间1,0上的最小值；（2）若01f，函数xf在区间1,0内有零点，求a的取值范围.选做题22.几何证明选讲（本小题共10分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问5分）4如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D,E两点，DEBC，垂足为C.（Ⅰ）证明：DBACBD;（Ⅱ）若2,3BCDCAD，求⊙O的直径.23.极坐标与参数方程（本小题共10分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问5分）将圆122yx上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线022:yxl与C的交点为21,PP，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段21PP的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.24.不等式选讲（本小题共10分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问5分）已知定义在R上的函数21xxxf的最小值为a.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若rqp,,是正实数，且满足arqp，求证：3222rqp.重庆八中2015—2016学年度（下）半期考试高二年级数学试题(理科)参考答案一、选择题1-5：DADCA6-10：CCBCC11-12：DB12.解析：由抛物线的定义及圆的性质知，过点MF、且与l相切的圆的圆心即为线段MF的垂直平分线与抛物线的交点，这样的交点个数可能为1或2，故选B.二、填空题13.414.6615.1116.,4116.令0lnxxxmxxxfxg，222'11xxmxxmxxg.对任意的1,0abafbfab恒成立，即aafbbf.故函数xg在,0单调递减，xxmxxmx2220.令02xxxy，只需maxym即可.41maxy，,41,41mm.三、解答题17.（1）由题意可知27)(8bac.由余弦定理得512522272522cos222222abcbaC.52126sin=155C，11526sin=2=62225ABCSabC.提示：也可用海伦公式。（2）由CABBAsin22cossin2cossin22可得：CABBAsin22cos1sin2cos1sin，化简得CABBBAAsin4cossinsincossinsin.因为CBAABBAsinsincossincossin.所以CBAsin3sinsin.由正弦定理可知cba3.又因为8cba，所以6ba.由于CCabSsin29sin21，所以9ab，从而0962aa.解得3,3ba.18．619.解法一：过E作ACEN于N，连接EF.（1）证明：如图1，连接1,ACNF，由直棱柱的性质知，底面ABC侧面CA1，又底面ABC侧面ACCA1，且EN底面ABC，所以EN侧面CA1，NF为EF在侧面CA1内的射影.在CNERt中，160cos0CECN.则由411CACNCCCF，得1//ACNF.又CAAC11,故CANF1.所以CAEF1.图1图2图3（2）如图2，连接AF,过N作AFNM于M，连接ME.由（1）知EN侧面CA1，根据三垂线定理得AFEM，所以EMN是二面角EAFC的平面角，即EMN.设FAC，则00450.在CNERt中，360sin0ECNE，在AMNRt中，sin3sinANMN，故sin33tanMNNE.又00450，22sin0.故当22sin，即当045时，tan达到最小值.36233tan.此时F与1C重合.解法二：（1）证明：建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得,0,2,32,0,0,0BA,1,4,0,0,3,3,4,0,0,0,4,01FEAC于是44,01，CA,113，，EF.则.04401,134,401，，EFCA故CAEF1.（2）设40CF，平面AEF的一个法向量为zyxm,,，则由（1）得,4,0F，,4,003,3AFAE，，,于是由AFmAEm,可得7,0,0AFmAEm即.04,033zyyx取4,,3m.又由直三棱柱的性质可取侧面1AC的一个法向量为0,0,1n，于是由为锐角可得,4216sin,423cos222nmnm所以.1631316tan22由410，得411，即363131tan，故当4，即点F与1C重合时，tan取得最小值36.20.（Ⅰ）设F的坐标为(–c，0)，依题意有bc=22ab，∴椭圆C的离心率e=ac=22．（Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=22，∴椭圆方程为14822yx.联立方程组48222kxyyx，化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0，由△=32(2k2–3)＞0，解得：k2＞23由韦达定理得：xM+xN=12162kk…①，xMxN=12242k…②设M(xM，kxM+4)，N(xN，kxN+4)，MB方程为：y=MMxkx6x–2，……③NA方程为：y=NNxkx2x+2，……④由③④解得：y=MNNMNMxxxxxkx3)3(2=12164)212161224(2222kkxxkkkkNN=12164)2128(222kkxxkkNN=1即yG=1，∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上．21.（1）由12bxaxexfx，有baxexfxgx2'，所以aexgx2'.因此，当1,0x时，aeaxg2,21'.当21a时，0'xg，所以xg在10，单调递增，因此xg在10，上的最小值是bg10；当2ea时，0'xg，所以xg在10，单调递减，因此xg在10，上的最小值是baeg21；当221ea时，令0'xg，得1,02lnax.所以函数xg在区间a2ln0，上单调递减，在区间1,2lna上单调递增。于是，xg在10，上的最小值是baaaag2ln222ln.8综上所述，当21a时，xg在10，上的最小值是bg10；当221ea时，xg在10，上的最小值是baaaag2ln222ln；当2ea时，xg在10，上的最小值是baeg21。（2）设0x为xf在区间10，内的一个零点，则由000xff可知，xf在区间0,0x上不可能单调递增，也不可能单调递减，则xg不可能恒为正，也不可能恒为负。故xg在区间0,0x内存在零点1x.同理xg在区间1,0x内存在零点2x。所以xg在区