【恒心】高考数学(文科)传奇逆袭013-选修4-5-不等式选讲

选修4－5不等式选讲第一节绝对值不等式1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集：不等式a0a＝0a0|x|a(－a，a)∅∅|x|a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，－0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a－b0时，等号成立，对|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，如果a－b0当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时左边等号成立，当且仅当ab≤0时右边等号成立．2．形如|x－a|＋|x－b|≥c(c0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c的符号判断，若c0则不等式解集为R.[试一试]1．已知不等式|2x－t|＋t－10的解集为(－12，12)，求t的值．解：|2x－t|1－t，t－12x－t1－t，2t－12x1，t－12x12，∴t＝0.2．设不等式|x＋1|－|x－2|k的解集为R，求实数k的取值范围．解：法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于|PA|－|PB|k恒成立．∵|AB|＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k－3时，原不等式恒成立．法二令y＝|x＋1|－|x－2|，则y＝－3，x≤－1，2x－1，－1x23，x≥2，，要使|x＋1|－|x－2|k恒成立，从图像中可以看出，只要k－3即可．故k的取值范围为k－3.含绝对值不等式的常用解法1．基本性质法：对a∈R＋，|x|a⇔－axa，|x|a⇔x－a或xa.2．平方法：两边平方去掉绝对值符号．3．零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．4．几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．[练一练]1．在实数范围内，解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6.解：法一分类讨论去绝对值号解不等式．当x12时，原不等式转化为4x≤6⇒x≤32；当－12≤x≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x－12时，原不等式转化为－4x≤6⇒x≥－32.综上知，原不等式的解集为x|－32≤x≤32.法二利用几何意义求解．原不等式可化为x－12＋x＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝32或x＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x≤32时，满足题意，则原不等式的解集为x|－32≤x≤32.2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求实数a的取值范围．解：利用绝对值不等式的性质求解．∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.考点一绝对值不等式的解法1.解不等式|x－2|－|x－1|0.解：原不等式等价于|x－2||x－1|，则(x－2)2(x－1)2，解得x32.2．(2013·西安质检)若关于x的不等式|x－a|1的解集为(1,3)，求实数a的值．解：原不等式可化为a－1xa＋1，又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得a＝2.3．如果关于x的不等式|x－3|－|x－4|a的解集不是空集，求实数a的取值范围．解：注意到||x－3|－|x－4||≤|(x－3)－(x－4)|＝1，－1≤|x－3|－|x－4|≤1.若不等式|x－3|－|x－4|a的解集是空集，则有|x－3|－|x－4|≥a对任意的x∈R都成立，即有(|x－3|－|x－4|)min≥a，a≤－1.因此，由不等式|x－3|－|x－4|a的解集不是空集可得，实数a的取值范围是a－1.[类题通法]利用零点分类讨论法解绝对值不等式时，注意分类讨论时要不重不漏．考点二绝对值不等式的证明[典例](2014·长春联考)已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)4的解集为M.(1)求M；(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b||4＋ab|.[解](1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝－2x，x－1，2，－1≤x≤1，2x，x1，当x－1时，由－2x4，得－2x－1；当－1≤x≤1时，f(x)＝24，∴－1≤x≤1；当x1时，由2x4，得1x2，∴M＝(－2,2)．(2)证明：a，b∈M即－2a2，－2b2.∵4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4(a2＋2ab＋b2)－(16＋8ab＋a2b2)＝(a2－4)·(4－b2)0，∴4(a＋b)2(4＋ab)2，∴2|a＋b||4＋ab|.本例中f(x)若变为“f(x)＝|x＋1|＋|x－1|－a”且f(x)≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围.解：由f(x)≥0知a≤|x＋1|＋|x－1|，又|x＋1|＋|x－1|≥|(x＋1)－(x－1)|＝2，∴a≤2.故a的取值范围为(2，＋∞)．[类题通法]证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明；(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明；(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．[针对训练](2014·乌鲁木齐高三诊断性测验)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)求证：f(x)≥1；(2)若f(x)＝a2＋2a2＋1成立，求x的取值范围．解：(1)证明：f(x)＝|x－1|＋|x－2|≥|(x－1)－(x－2)|＝1.(2)∵a2＋2a2＋1＝a2＋1＋1a2＋1＝a2＋1＋1a2＋1≥2，∴要使f(x)＝a2＋2a2＋1成立，需且只需|x－1|＋|x－2|≥2，即x1，1－x＋2－x≥2或1≤x2，x－1＋2－x≥2或x≥2，x－1＋x－2≥2，解得x≤12或x≥52，故x的取值范围是－∞，12∪52，＋∞.考点三绝对值不等式的综合应用[典例](2013·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．[解](1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝－5x，x＜12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y0.所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈－a2，12时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(1,2)))都成立．