初中最重要的考点：一次函数与反比例函数(课堂精讲和历年考题)

中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅1§3一次函数与反比例函数板块教学目标A级目标B级目标C级目标平面直角坐标系认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；了解特殊位置的点的坐标特征．能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置和变化；会由点的特殊位置，求点的坐标中相关字母的范围；会求已知点到坐标轴的距离；能用不同的方式确定物体的位置．函数及其图象了解常量和变量的意义；了解函数的概念和三种表示方法；能举出函数的实例；会确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求函数值能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系能探索具体问题中的数量关系和变化规律；结合函数关系的分析，能对变量的变化趋势进行初步预测；能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析一次函数理解正比例函数；能结合具体情境了解一次函数的意义，会画一次函数的图象；理解一次函数的性质会根据已知条件确定一次函数的解析式；会根据一次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标；能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解能用一次函数解决实际问题反比例函数能结合具体问题了解反比例函数的意义；能画出反比例函数的图象；理解反比例函数的性质会根据已知条件确定反比例函数的解析式；能用反比例函数的知识解决有关问题能用反比例函数解决某些实际问题一、函数1、平面直角坐标系板块一平面直角坐标系1．有序实数对教学目标学习内容知识梳理中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅2有顺序的两个数a与b组成的实数对，叫做有序实数对，记作ab，．注意：当ab时，ab，和ba，是不同的两个有序实数对．2．平面直角坐标系楷体在平面内有两条公共点并且互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫做横轴或x轴，取向右的方向为正方向；铅直的数轴叫做纵轴或y轴，取向上的方向为正方向，两数轴的交点叫做坐标原点；x轴和y轴统称为坐标轴；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面．3．象限x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫做第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．注意：（1）两条坐标轴不属于任何一个象限．（2）如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义时，要在表示横轴，纵轴的字母后附上单位．4．点的坐标对于坐标平面内的一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序实数对ab，叫做点A的坐标，记作Aab，．坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．板块二坐标平面内特殊点的坐标特征2、各象限内点的坐标特征点Pxy，在第一象限00xy，；点Pxy，在第二象限00xy，；点Pxy，在第三象限00xy，；点Pxy，在第四象限00xy，．3、坐标轴上点的坐标特征点Pxy，在x轴上0y，x为任意实数；中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅3点Pxy，在y轴上0x，y为任意实数；点Pxy，即在x轴上，又在y轴上00xy，，即点P的坐标为00，．4、两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征点Pxy，在第一、三象限夹角的角平分线上xy；点Pxy，在第二、四象限夹角的角平分线上0xy．5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征平行于x轴直线上的两点，其纵坐标相等，横坐标为两个不相等的实数；平行于y轴直线上的两点，其横坐标相等，纵坐标为两个不相等的实数．6、坐标平面内对称点的坐标特征点Pab，关于x轴的对称点是Pab，，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．点Pab，关于y轴的对称点是Pab，，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．点Pab，关于坐标原点的对称点是Pab，，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．点Pab，关于点Qmn，的对称点是22Mmanb，．2、函数及其图像板块一函数的相关概念1．常量与变量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，取值始终保持不变的量叫做常量．如在圆的面积公式2πSR中，是常数，是一个常量，而S随R的变化而变化，所以S、R是变量．2．自变量、因变量与函数在某一变化过程中，有两个量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，其中x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．注意：⑴对于每一个给定的x值，y有一个唯一确定的值与之对应，否则y就不是x的函数．例如2yx就不是函数，因为当4x时，2y，即y有两个值与x对应．中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅4⑵对于每一个给定的y值，x可以有一个值与之对应，也可以有多个值与之对应．例如在函数2(3)yx中，2x时，1y；4x时，1y．板块二函数自变量的取值范围函数自变量的取值范围是指是函数有意义的自变量的取值的全体．求自变量的取值范围通常从两方面考虑，一是要使函数的解析式有意义；二是符合客观实际．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面：⑴整式：自变量的取值范围是任意实数．⑵分式：自变量的取值范围是使分母不为零的任意实数．⑶根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．⑷零次幂或负整数次幂：使底数不为零的实数．注意：在一个函数关系式中，同时有各种代数式，函数自变量的取值范围是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．在实际问题中，自变量的取值范围应该符合实际意义，通常往往取非负数，整数之类．板块三函数的表示方法1．函数的三种表示方法：⑴列表法：通过列表表示函数的方法．⑵解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30St，2SR．⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．2．对函数的关系式（即解析式）的理解：⑴函数关系式是等式．例如4yx就是一个函数关系式．⑵函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：24yx中x是自变量，y是x的函数．⑶函数关系式在书写时有顺序性．例如：31yx是表示y是x的函数，若写成13yx就表示x是y的函数．求y与x的函数关系时，中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅5必须是只用变量x的代数式表示y，得到的等式右边只含x的代数式．板块四函数的图象1．函数图象的概念：对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每对值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是函数的图象．2．函数图象的画法⑴列表；⑵描点；⑶连线．3．函数解析式与函数图象的关系：由函数图象的定义可知，图象上任意一点,Pxy中的x，y都是解析式方程的一个解．反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标值代入函数的j解析式，如果满足函数解析式，这个店就在函数的图象上，否则就不在这个函数的图象上．二、一次函数1、一次函数的图象及性质板块一一次函数的概念一般地，形如ykxb（k，b是常数，0k）的函数，叫做一次函数，当0b时，即ykx，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是ykxb，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b，0k时，ykx仍是一次函数．⑶当0b，0k时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．板块二一次函数的图象中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅6⑴一次函数ykxb（0k，k，b为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取00，，1k，两点；②如果这个函数是一般的一次函数（0b），通常取0b，，0bk，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式ykxb的点xy，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l，反之，直线l上的点的坐标xy，满足ykxb，也就是说，直线l与ykxb是一一对应的，所以通常把一次函数ykxb的图象叫做直线l：ykxb，有时直接称为直线ykxb．板块三一次函数的性质一次函数0kkxbkk，b符号0k0k0b0b0b0b0b0b图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小1．一次函数图象的位置在一次函数ykxb中：⑴当0k时，其图象一定经过一、三象限；当0k时，其图象一定经过二、四象限．⑵当0b时，图象与y轴交点在x轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b时，图象与y轴交点在x轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数ykxb的图象的位置也可以确定其系数k、b的符号．OxyyxOOxyyxOOxyyxO中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅72．一次函数图象的增减性在一次函数ykxb中：⑴当0k时，一次函数ykxb的图象从左到右上升，y随x的增大而增大；⑵当0k时，一次函数ykxb的图象从左到右下降，y随x的增大而减小．2、一次函数解析式的确定用待定系数法求一次函数解析式：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将xy，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．3、一次函数的应用4、一次函数与方程、不等式综合板块一一次函数与一元一次方程的关系直线ybk0kx（）与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程b0(0)kxk的解。求直线ybkx与x轴交点时，可令0y，得到方程b0kx，解方程得xbk，直线ybkx交x轴于(,0)bk，bk就是直线ybkx与x轴交点的横坐标。板块二一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为ab0x或ab0x(ba、为常数，0a)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅8板块三一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式ybk0kx（）本身就是一个二元一次方程，直线ybk0kx（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程ybk0kx（），因此二元一次方程的解也就有无数个。5、一次函数与几何综合三、反比例函数1、反比例函数的图象及性质板块一反比例函数的定义函数kyx（k为常数，0k）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．板块二反比例函数的图象反比例函数kyx（k为常数，0k）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数kyx与kyx（0k）的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．板块三反比例函数的性质反比例函数kyx（k为常数，0k）的图象是双曲线；当0k时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当0k时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大．注意：⑴反比例函数kyx（0k）的取值范围是0x．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅9②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”