2.3.2双曲线的简单几何性质(1)

2.3.2双曲线的简单几何性质（1）第二章圆锥曲线与方程123444问:双曲线的标准方程是什么？•(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程为•(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程为123444问:根据椭圆的标准方程研究了椭圆的那些几何性质?(1)范围(2)对称性(3)顶点(4)离心率123444(1)范围22221(0)xyabab22221(0,0)xyabab123444(2)对称性22221(0)xyabab22221(0,0)xyabab对称轴：x轴、y轴.对称中心:原点用-y代替y,方程不变对称轴：x轴、y轴.对称中心:原点用-x代替x,方程不变用-x、-y代替x、y,方程不变123444123444(3)顶点22221(0)xyabab22221(0,0)xyabab实轴:A1A2虚轴:B1B2顶点:A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)长轴长=2a,短轴长=2b实轴长=2a虚轴长=2b顶点:A1(-a,0),A2(a,0)长半轴长=a,短半轴长=b实半轴长=a虚半轴长=b长轴A1A2短轴B1B2(4)离心率22221(0)xyabab22221(0,0)xyabab123444根据以上几何性质能够较准确地画出椭圆的图形问:根据以上几何性质能否较准确地画出双曲线的图形呢？123444问:双曲线向远处伸展时有什么规律?yyxx123444M(5)渐近线(利用双曲线的性质,可以较准确地画出双曲线的草图。)123444123444焦点在x轴上的双曲线的几何性质双曲线标准方程：1、范围：x≥a或x≤-a2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点:A1(-a,0),A2(a,0)实轴A1A2虚轴B1B24、离心率：xyB1B2OF2F1A2A1|A1A2|=2a,|B1B2|=2b5、渐近线:焦点在y轴上的双曲线的几何性质双曲线标准方程：XYF1F2OB1B2A2A11、范围：2、对称性：3、顶点:4、离心率：5、渐近线:y≥a或y≤-a关于x轴，y轴，原点对称。A1(0,-a),A2(0,a)实轴A1A2虚轴B1B2|A1A2|=2a,|B1B2|=2b123444例1:求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。解：把方程化为标准方程：可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3半焦距c=焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率渐近线方程即123444练习1.已知实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，则等轴双曲线的渐近线______离心率____。等轴双曲线方程：或渐进线方程：离心率：即123444例2曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.123444解:如图，建立冷却塔的轴截面所在平面的直角坐标系xOy，使小圆的直径AA`在x轴上，圆心与圆点重合.这时，上、下口的直径CC`，BB`都平行于x轴，且|CC`|=13×2,|BB`|=25×2.设双曲线的方程为（a0,b0）,令点C的坐标为（13，y）,则点B的坐标为（25，y-55）.123444因为点B,C在双曲线上，所以由方程（2），得（负值舍去）代入方程（1），得2222222225(55)1,(1)12131.(2)12ybyb512by22225(55)2512112bb123444化简得19b2+275b-18150=0.(3)用计算器解方程（3），得b≈25.所以，所求双曲线的方程为221144625xy123444已知双曲线的几何性质，求其标准方程的方法步骤：(1)确定焦点所在的位置，以确定双曲线方程的形式；(2)确立关于a,b,c的方程(组)，求出参数a,b,c；(3)写出标准方程．提升总结123444例3点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点M的轨迹.16:5lx54123444解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合由此得.将上式两边平方，并化简，5|,4MFPMd22(5)51645xyx123444得9x2-16y2=144.即所以点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8,6的双曲线.221.169xy123444双曲线中应注意的几个问题：(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线；(2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的(3)双曲线只有两个顶点，离心率e1；(5)注意双曲线中a，b，c，e的等量关系与椭圆中a，b，c，e的不同．(4)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为2，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；提升总结123444小结:双曲线的几何性质标准方程范围对称性顶点离心率渐近线A1(0,-a),A2(0,a)y≥a或y≤-a关于x轴，y轴，原点对称x≥a或x≤-aA1(-a,0),A2(a,0)关于x轴，y轴，原点对称123444课堂练习：P61练习1、2、3、4123444本节内容结束123444