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圆锥曲线中的离心率问题离心率两大考点:求值、求范围求值:1.利用a与c的关系式(或齐次式)2.几何法3.与其它知识点结合求范围:1.利用圆锥曲线相关性质建立ac、不等关系求解.2.运用数形结合建立ac、不等关系求解3.利用曲线的范围,建立不等关系4.运用函数思想求解离心率5.运用判别式建立不等关系求解离心率一、求离心率的值1.利用a与c的关系式(或齐次式)题1:(成都市2010第二次诊断性检测)已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为.题2:已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60°,则双曲线C的离心率为62题3:设双曲线222200xyabab-=1>,>的渐近线与抛物线21y=x+相切,则该双曲线的离心率等于()(A)3(B)2(C)5(D)6解:由题双曲线222200xyabab-=1>,>的一条渐近线方程为abxy,代入抛物线方程整理得02abxax,因渐近线与抛物线相切,所以0422ab,即5522eac,故选择C。题4:(2009浙江理)过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若12ABBC,则双曲线的离心率是()(A)2(B)3(C)5(D)102.几何法题1:以椭圆的右焦点F,为圆心作圆,使这圆过椭圆的中心,且交椭圆于点M,若直线MFl(Fl为左焦点)是圆F2的切线,M是切点,则椭圆的离心率是11211,2,3,31MFFFMFe====-题2:Fl,F2为椭圆的左、右两个焦点,过F2的直线交椭圆于P、Q两点,PF1^PQ,且1PFPQ=,求椭圆的离心率.题3:12212(05,,221A.B.C.22D.2122FFFPFPF全国)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是()---(采用离心率的定义以及椭圆的定义求解)解:如右图所示,有12222||||212122221ccceaaPFPFccc离心率的定义椭圆的定义故选D3.与其它知识点结合题1:已知M为椭圆上一点,Fl,F2是其两个焦点,且∠MFlF2=2a,∠MF2Fl=a(a≠0),则椭圆的离心率为()(A)1—2sina(B)l—sin2a(C)1-cos2a(D)2cosa-1题2:已知P为双曲线右支上一点,Fl、F2是其左、右两焦点,且∠PFlF2=15°,∠PF2Fl=75°,则双曲线的离心率为.2练习:.22221(0),34xyababc-=1.设双曲线半焦距为c,直线l过点(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为,则双曲线的离心率为()A2332.已知双曲线的渐近线为34yx=?,则双曲线的离心率为55,343.过双曲线的一个焦点F作垂直于实轴的弦MN,A为双曲线的距F较远的顶点,∠MAN=90°,双曲线的离心率等于2221212224.(071(0,0)||5A.3B.5C.D.132xyFFabABOOFabFAB安徽卷)和分别是双曲线的两个焦点,和是以为圆心,以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,则双曲线的离心率为(D)+2baca=+22121222125.(07190,||3||,51015A.B.C.D.5222xyFFAFAFabAFAF全国Ⅱ)设、分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点,使且则双曲线的离心率为(B)二、求离心率的取值范围1.利用圆锥曲线相关性质建立ac、不等关系求解.题1:(2008福建)双曲线22221xyab(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,3)B.1,3C.(3,+)D.3,分析求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系,题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢?解析:∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1||PF2|=|PF2|=2a,|PF2|ca即2aca∴3ac所以双曲线离心率的取值范围为13e,故选B.点评:本题建立不等关系是难点,如果记住一些双曲线重要结论(双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于ca)则可建立不等关系使问题迎刃而解.题2:(04重庆)已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左,右焦点分别为12,FF,点P在双曲线的右支上,且12||4||PFPF,则此双曲线的离心率e的最大值为:()A43B53C2D73∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1||PF2|=3|PF2|=2a,|PF2|ca即23aca∴53ac所以双曲线离心率的取值范围为513e,故选B.练习:1.已知1F,2F分别为22221xyab(0,0)ab的左、右焦点,P为双曲线右支上任一点,若212PFPF的最小值为8a,则该双曲线的离心率的取值范围是()A(1,2]B(1,3]C[2,3]D[3,)解析2221222222(2)442448PFaPFaPFaaaaPFPFPF,欲使最小值为8a,需右支上存在一点P,使22PFa,而2PFca即2aca所以13e.2.利用曲线的范围,建立不等关系题1.设椭圆22221(0)xyabab+=的左右焦点分别为F1、F2,如果椭圆上存在点P,使1290FPF?,求离心率e的取值范围。解:设因为,所以将这个方程与椭圆方程联立,消去y,可解得题2:椭圆G:22221(0)xyabab的两焦点为12(,0),(,0)FcFc,椭圆上存在点M使120FMFM.求椭圆离心率e的取值范围;解析设22212(,),0MxyFMFMxyc……①将22222bybxa代入①得22222abxa220xa求得212e.点评:22221(0)xyabab中xa,是椭圆中建立不等关系的重要依据,在求解参数范围问题中经常使用,应给予重视.3.运用数形结合建立ac、不等关系求解题1:(06福建)已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(A)(1,2](B)(1,2)(C)[2,)(D)(2,)解析欲使过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba,∴ba≥3,即3ba即2223caa∴224ca即2e故选C.题2:直线L过双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点,斜率k=2,若L与双曲线的两个交点分别在左、右两支上,求双曲线离心率的取值范围。如图1,若,则L与双曲线只有一个交点;若,则L与双曲线的两交点均在右支上,题3:已知F1、F2分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形,求双曲线的离心率的取值范围。解:如图2,因为△ABF2是等腰三角形,所以只要∠AF2B是锐角即可,即∠AF2F145°。则4.运用函数思想求解离心率题1:(08全国卷Ⅱ)设1a,则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围是A.)2,2(B.)5,2(C.)5,2(D.)5,2(解析:由题意可知22111()1(1)aeaa∵1a∴1112a∴25e,故选B.5.运用判别式建立不等关系求解离心率题1:(全国Ⅰ)设双曲线C:1:)0(1222yxlayax与直线相交于两个不同的点A、B.求双曲线C的离心率e的取值范围解析由C与l相交于两个不同的点,故知方程组.1,1222yxyax有两个不同的实数解.消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.①所以242210.48(1)0.aaaa解得021.aa且双曲线的离心率22111aeaa021,aa且∴622ee且所以双曲线的离心率取值范围是6(,2)(2,)2练习:1。设22221(0,0)xyabab两条渐近线含实轴的所成角为q,离心率2,2e轾Î犏臌,,则q的范围1组1。分析求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系,题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢?解析:∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1||PF2|=|PF2|=2a,|PF2|ca即2aca∴3ac所以双曲线离心率的取值范围为13e,故选B.点评:本题建立不等关系是难点,如果记住一些双曲线重要结论(双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于ca)则可建立不等关系使问题迎刃而解.2,∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1||PF2|=3|PF2|=2a,|PF2|ca即23aca∴53ac所以双曲线离心率的取值范围为513e,故选B.练习:解析2221222222(2)442448PFaPFaPFaaaaPFPFPF,欲使最小值为8a,需右支上存在一点P,使22PFa,而2PFca即2aca所以13e.2组1。解:设因为,所以将这个方程与椭圆方程联立,消去y,可解得2,解析设22212(,),0MxyFMFMxyc……①将22222bybxa代入①得22222abxa220xa求得212e.点评:22221(0)xyabab中xa,是椭圆中建立不等关系的重要依据,在求解参数范围问题中经常使用,应给予重视.3组1,解析欲使过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba,∴ba≥3,即3ba即2223caa∴224ca即2e故选C.2,解:如图1,若,则L与双曲线只有一个交点;若,则L与双曲线的两交点均在右支上,3,解:如图2,因为△ABF2是等腰三角形,所以只要∠AF2B是锐角即可,即∠AF2F145°。则4组,1解析:由题意可知22111()1(1)aeaa∵1a∴1112a∴25e,故选B.5组1,解析由C与l相交于两个不同的点,故知方程组.1,1222yxyax有两个不同的实数解.消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.①所以242210.48(1)0.aaaa解得021.aa且双曲线的离心率22111aeaa021,aa且∴622ee且所以双曲线的离心率取值范围是6(,2)(2,)2练习
本文标题:离心率的求法总结[精]
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