2014届高三数学一轮复习-(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)8.7双曲线课件-新人教A版

[知识能否忆起]1．双曲线的定义平面内与定点F1、F2的距离的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的．焦点差的绝对值焦距[动漫演示更形象，见配套课件]2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图像标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)范围_____________________________对称性对称轴：_______对称中心：_____对称轴：_______对称中心：_____顶点A1_________，A2______A1____________，A2_________性质渐近线x≥a或x≤－ax≥a或x≤－a坐标轴坐标轴原点(－a,0)原点(a,0)(0，－a)(0，a)y＝±baxy＝±abx标准方程性质离心率e＝，e∈，其中c＝________实虚轴线段叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝；线段叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝；叫做双曲线的实半轴长，__叫做双曲线的虚半轴长x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)a2＋b2(1，＋∞)A1A22aB1B22babca[小题能否全取]1．(教材习题改编)若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为()A.－22，0B.－52，0C.－62，0D.－3，0解析：∵双曲线方程可化为x2－y212＝1，∴a2＝1，b2＝12.∴c2＝a2＋b2＝32，c＝62.∴左焦点坐标为－62，0.答案：C答案：C2．(教材习题改编)若双曲线x2a2－y2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为()解析：依题意得a2＋1＝4，a2＝3，故e＝2a2＝23＝233.A.255B.32C.233D．23．设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．42B．83C．24D．48解析：由P是双曲线上的一点和3|PF1|＝4|PF2|可知，|PF1|－|PF2|＝2，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝2c＝10，所以△PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝12×6×8＝24.答案：C4．双曲线x2m－y24＝1(m＞0)的焦距为6，则双曲线的离心率e＝________.解析：由题意得m＋4＝3，则m＝5，e＝35＝355.答案：3555．如果双曲线x24－y212＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是________解析：由双曲线方程得a＝2，c＝4.根据双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝±2a，则|PF1|＝|PF2|±2a＝8±4，∴|PF1|＝4或12，经检验二者都符合题意．答案：4或121.区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率e＞1；椭圆的离心率e∈(0,1)．2．当ab0时，双曲线的离心率满足1e2；当a＝b0时，e＝2；当ba0时，e2.3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．双曲线的定义及标准方程[例1](1)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝1(2)(2012·辽宁高考)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．[自主解答](1)∵x2a2－y2b2＝1的焦距为10，∴c＝5＝a2＋b2.又ca＝52，a＝25，b＝5(2)不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2，又因为|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，可得2|PF1|·|PF2|＝4，则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|＋|PF2|＝23.[答案](1)A(2)231．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定系点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．2．求双曲线方程常用待定系数法，若不能明确焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn0)．1．(2012·大连模拟)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝()A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对(2)(2012·山东烟台模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为()A．5x2－4y25＝1B.x25－y24＝1C.y25－x24＝1D．5x2－5y24＝1解析：(1)由双曲线定义||PF1|－|PF2||＝8，又∵|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2＞1，∴|PF2|＝17.(2)抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，所以c＝1，又ca＝5，所以a2＝15，b2＝45，双曲线方程为5x2－5y24＝1.[答案](1)B(2)D[例2]如图，F1和F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则离心率为________．双曲线的几何性质[自主解答]连接AF1，AO，由题意知|AO|＝|F1O|＝c，∠AOF1＝60°，所以|AF1|＝c，|AF2|＝3c，由双曲线定义得3c－c＝2a，所以e＝ca＝23－1＝3＋1.[答案]3＋1(1)求双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a，c的关系，在求解中要善于利用几何图形的性质并结合双曲线的定义建立关系式．(2)解决与双曲线几何性质相关的问题时，要注意数形结合思想的应用．2．(2013·大同模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的方程为()A.x23－y2＝1B．x2－y23＝1C．x2－y22＝1D.x22－y2＝1解析：设点P(m，n)，依题意得，点F(2,0)，由点P在抛物线y2＝8x上，且|PF|＝5得m＋2＝5，n2＝8m，由此解得m＝3，n2＝24.于是有a2＋b2＝4，9a2－24b2＝1，由此解得a2＝1，b2＝3，故该双曲线的方程为x2－y23＝1.答案：B直线与双曲线的位置关系[例3](2012·南昌模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(ba0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(5，3)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l与双曲线交于P，Q两点，且OP·OQ＝0.求1|OP|2＋1|OQ|2的值．[自主解答](1)∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，双曲线方程为x2a2－y23a2＝1，即3x2－y2＝3a2.∵点M(5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a2.∴a2＝4.∴所求双曲线的方程为x24－y212＝1.(2)设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，联立x24－y212＝1，得x2＝123－k2，y2＝12k23－k2，∴|OP|2＝x2＋y2＝12k2＋13－k2.则OQ的方程为y＝－1kx，同理有|OQ|2＝121＋1k23－1k2＝12k2＋13k2－1，∴1|OP|2＋1|OQ|2＝3－k2＋3k2－112k2＋1＝2＋2k212k2＋1＝16.(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．(2)与中点有关的问题常用点差法．*(3)根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．3．(2011·江西高考)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC＝λOA＋OB，求λ的值．解：(1)点P(x0，y0)(x≠±a)在双曲线x2a2－y2b2＝1上，有x20a2－y20b2＝1.由题意又有y0x0－a·y0x0＋a＝15，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝ca＝305.(2)由题意直线方程为y＝x－c，联立x2－5y2＝5b2，y＝x－c，得4x2－10cx＋35b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5c2，x1x2＝35b24.①设OC＝(x3，y3)，OC＝λOA＋OB，即x3＝λx1＋x2，y3＝λy1＋y2.又C为双曲线上一点，即x23－5y23＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.化简得λ2(x21－5y21)＋(x22－5y22)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2，又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2.由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.[典例]已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(1,1＋2)D．(2,1＋2)[解析]由AB⊥x轴，可知△ABE为等腰三角形，又△ABE是锐角三角形，所以∠AEB为锐角，即∠AEF45°，于是|AF||EF|，b2aa＋c，于是c2－a2a2＋ac，即e2－e－20，解得－1e2.又双曲线的离心率e1，从而1e2.[答案]B[题后悟道]离心率是圆锥曲线的重要几何性质，求解椭圆或者双曲线的离心率的关键是建立一个关于a，b，c的方程(不等式)，通过这个方程(不等式)和b与a，c的关系消掉b后，建立a，c之间的方程(不等式)，只要能通过这个方程求出ca即可，不一定具体求出a，c的数值．针对训练1．(2012·郑州模拟)已知点F，A分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，右顶点，点B(0，b)满足FB,·AB,＝0，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.1＋32D.1＋52解析：依题意得F(－c,0)，A(a,0)，又B(0，b)，则FB,＝(c，b)，AB,＝(－a，b)．由FB,·AB,＝0，得b2＝ac，所以c2－a2＝ac，c2－a2ac＝1，即e－1e＝1，e2－e－1＝0，解得e＝1±52.又e＞1，所以e＝1＋52，即双曲线的离心率等于1＋52.答案：D2．(2012·南昌模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值为32(