正弦定理第一课时课件-人教A版数学高二必修5第一章1.1.1

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.掌握正弦定理的表示形式及证明正弦定理的向量方法.2.学会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题.学习目标.C.B.A1、问题的给出：为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定1公里长的基线AB，并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求A、C两点的距离？一、创设情境2、实际问题转化为数学问题：A..B.CA..B.C已知三角形的两个角和一条边，求另一条边。ACBcba想一想?中在一个直角三角形ABCAsincaAacsinBsincbBbcsinCsincc1Cccsin问题（2）上述结论是否可推广到任意三角形?若成立，如何证明？CcBbAasinsinsin（1）你有何结论?二、定理的猜想＝＝asinAbsinBcsinC＝2R.=2RbsinBB`ABCbO三、定理的证明平面几何法'0''90,sinsin2ACBBBbBBR'',,,,,,,2,ABCBCaACbABcOAOBABR在中已知作三角形的外接圆为圆心连结并延长交圆于设则（1）文字叙述正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.（2）结构特点（3）方程的观点正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?和谐美、对称美.正弦定理:CcBbAasinsinsinO(A)yxCBC1因为向量与在y轴上的射影均为，BCAC1OC如图所示，以A为原点，以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系，C点在y轴上的射影为C1，1Acos(90)sinOCCAbA1sinsinOCBCBaBsinsinabABsinsinacAC即所以同理，所以sinsinsinabcABC由上面证明过程可以看出，若Ａ为锐角或直角，也可以得到同样的结论.(4)变形：设△ABC的外接圆的半径为R，则有asinA＝bsinB＝csinC＝_____.2R①a:b:c＝sinA:_____:sinC.②ab＝sinAsinB，ac＝sinAsinC，bc＝______.③asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC.④a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝________.⑤sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.⑥AB⇔ab⇔2RsinA2RsinB⇔sinAsinB.sinBsinBsinC2RsinC如图：若测得AB＝1km，B＝120°，A＝45°，求AC。解：C＝180°－（45°＋120°）＝15°ACABsinBsinC=在ABC中，由正弦定理得：AB·sinBsinA∴AC=1·sin120°sin15°=≈2.4(km)学以致用A..B.C解：105)(180CAB30sin105sin10　CcBbsinsin∵CBcbsinsin　192565..30,45,10.1bBCAc，ABC和边求角已知中在例正弦定理应用一：已知两角和任意一边，求其余两边和一角典例剖析类型一已知两角及一边解三角形;,120,30,12)1(.10aBAbABC求已知中在.,,30,45,10)2(ABCSbCAc求已知.,2,60,30)3(00caCBA求已知点拨：已知两角和任意一边，求其余两边和一角,此时的解是唯一的.;,,,)(aBAb求已知1203012100012030121sinsinsinsin,sinsin)(BAbaBbAa解：34.,,30,45,102ABCSbCAc求）已知（,sinsinCcBb解：)(1325,105)3045(180)(180CAB)26(530sin105sin10sinsinCBcbAbcSABCsin2145sin10)26(521.,2,60,30)3(caCBA求已知,sinsinCcAa又60,30CBA:解150CB45C2230452sinsinsinsinACac290122222sinsinsinsin:0　　　　cB　　　　aAbB　　BbAa　解例⒉在△ABC中，已知a＝2,b＝,A＝45°,求B和c。22正弦定理应用二：已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（要注意可能有两解）类型二已知两边及一边的对角解三角形变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝，A＝45°，求B和c。22232224264sinsin105)(150302142222sinsinsinsin:000ACa　　c　C　　　　B　　　　aAbB　　BbAa　舍去或解变式2：在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝45°，求B和c。22338822426334sinsin157512060233342222sinsinsinsin:0000ACa　c　C　　　　B　　　　aAbB　　BbAa　或或解433问题由例2我们发现，已知两边和其中一边的对角，解三角形时会出现两解的情况.还会出现其他情况吗？你能从代数或几何角度给出解释吗？已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．Ａ为锐角absinA无解a=bsinA一解bsinAab两解一解a≥bＡ为直角或钝角ab一解a≤b无解ＡＢＣbaＡＣbaＡＣabＡＢＣabＡＢ１Ｂ２ＣabＡＢＣabA的范围a,b关系解的情况（按角A分类）已知两边a、b和一边对角A的斜三角形的解：A为钝角或直角A为锐角a＞ba≤ba≥ba＜bsinAa=bsinAa＞bsinA一解无解一解无解一解两解;,,60,1,3)1(.2CAaBcbABC，和求已知中在。求已知ABba,45,22,32)2(0(3)20,28,120,.abA已知解这个三角形点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边对大角定理等三角形有关性质.;,,60,1,3)1(.2CAaBcbABC，和求已知中在9030,,60,ACCBCBcb，为锐角，,sinsinCcBb解：21360sin1sinsinbBcC222bca.,45,22,32)2(ABba求已知(3)20,28,120,.abA已知解这个三角形bBaAsinsin解：232245sin32)(,大边对大角CAba12060或AsinsinbABa解：20120sin2811037.本题无解类型三判断三角形的形状在△ABC中，若sin2A＝sin2B＋sin2C，sinA＝2sinB·cosC，试判断△ABC的形状．[分析]sin2A＝sin2B＋sin2C――→正弦定理a2＝b2＋c2――→B＋C＝90°cosC＝sinB例3[解]记asinA＝bsinB＝csinC＝k，则sinA＝ak，sinB＝bk，sinC＝ck.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(ak)2＝(bk)2＋(ck)2，即a2＝b2＋c2，A＝90°.∴C＝90°－B，cosC＝sinB.∴1＝sinA＝2sin2B，sinB＝22.∴B＝45°或B＝135°(A＋B＝225°180°，舍去)．∴△ABC是以A为直角的等腰直角三角形．变式训练3已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B分别为a，b的对角，试判断△ABC的形状．解：设方程的两根为x1，x2，由韦达定理得x1＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB.由题意得bcosA＝acosB，由正弦定理得sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－cosAsinB＝0.∴sin(A－B)＝0.在△ABC中，A，B为其内角，－πA－Bπ，所以A＝B.即△ABC为等腰三角形．一个定理——正弦定理CcBbAasinsinsin二种方法——平面几何法向量法二个应用——已知两角和一边（只有一解）已知两边和其中一边的对角（有一解，两解，无解）32.在ABC中，若a=2bsinA，则B＝()A、B、C、D、36653326或或1.在ABC中，若A：B：C=1：2：3，则a:b:c＝()A、1:2:3B、3:2:1C、1::2D、2::133CC当堂检测5.在△ABC中，c=4,a=2,C=,则=______45sinA4.若A,B,C是△ABC的三个内角，则sinA+sinB__________sinC.24)(,sinsinsin,.3222　　ABCCBAABC的形状是则若中在A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、不能确定B第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题