高中数学-3.1空间向量的直角坐标运算课件-新人教B版选修2-1

空间向量的直角坐标运算1．空间向量的直角坐标运算：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴、y轴、z轴的正方向引单位向量,,ijk，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{,,ijk}，这个基底叫做单位正交基底。单位向量,,ijk都叫做坐标向量。a3ka2ja1ijkiazyxO空间直角坐标系Oxyz，也常说成空间直角坐标系[O；,,ijk]。在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在惟一实数组(a1，a2，a3)，使123aaiajak，123,,aiajak分别为向量a在,,ijk方向上的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标。上式可简记作a=(a1，a2，a3)。于是，我们在空间向量集合的元素与三元有序实数组集合之间建立起了一一对应关系，即123(,,)aaaaPzkyjxijkiazyxO在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点P，相对于原点确定了一个向量OP，设OPxiyjzk，则(x，y，z)也就是点P的坐标，即P(x，y，z)，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则212121(,,)ABOBOAxxyyzz，这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。1212(,),(,)aaabbb设则;ab;ab;a;ab1122(,)abab1122(,)abab12(,)aa1122abab【新知探究】类比推广123123(,,),(,,)aaaabbbb设则;ab;ab;a;ab112233(,,)ababab112233(,,)ababab123(,,)aaa112233ababab空间向量的坐标运算法则：平面向量的坐标运算法则：;aaa2212aa;aaa222123aaa1212(,),(,)aaabbb设则【新知探究】平面向量运算的坐标表示：类比推广123123(,,),(,,)aaaabbbb设则空间向量运算的坐标表示：//;abab()abR1122,()ababR0ab11220ababcos,;ababab112222221212ababaabb//;abab()abR112233,,()abababR0ab1122330abababcos,;ababab112233222222123123abababaaabbb312123//aaaabbbb当与三个坐标平面都不平行时，b1212//aaabbb当与二个坐标轴都不平行时，b222212121||()()()ABdABxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、，则111(,,)Axyz222(,,)Bxyz空间两点间的距离公式【新知探究】222121||()()ABdABxxyy在平面直角坐标系中，已知、，则11(,)Axy22(,)Bxy例1．已知O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别是(2，－1，2)、(4，5，－1)、(－2，2，3)．求点P的坐标，使：(1)OP＝12(AB－AC)；(2)AP＝12(AB－AC)．解：AB＝(2，6，－3)，AC＝(－4，3，1)．(1)OP＝12(6，3，－4)＝(3，32，－2)，则点P的坐标为(3，32，－2)．(2)设P为(x，y，z)，则AP＝(x－2，y＋1，z－2)．∵12(AB－AC)＝AP＝(3，32，－2)，∴x＝5，y＝12，z＝0，则点P坐标为(5，12，0).例2．已知a＝(λ＋1，0，2λ)，b＝(6，2μ－1，2)，a∥b，则λ与μ的值分别为()A.15，12B．5，2C．－25，－12D．－5，－2例3．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC.若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．522kk或练习．已知向量a=(－2，2，0)，b=(－2，0，2)，求向量n，使得n⊥a且n⊥b。解：设n=(x，y，z)，则na=(x，y，z)·(－2，2，0)=－2x+2y=0，nb=(x，y，z)·(－2，0，2)=－2x+2z=0，解方程组00xyxz，这个方程组有三个未知数，但只有两个方程，不妨把未知数x当作已知，求y，z.可得y=x，z=x，于是n=(x，x，x)=x(1，1，1)。例4．已知A(1，1，0)，B(0，3，0)，C(2，2，3)，求（1）,ABAC；（2）AC在AB上正投影的数量。DCBAzyxO解：（1）由点A，B，C的坐标可求得(1,2,0)AB，(1,1,3)AC，||5,||11ABAC，1121031ABAC，因此1cos,||||55ABACABACABAC。（2）AC在AB上正投影的数量AD=||cos,ACABAC=1111555.解：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设DA＝i，DC＝j，1DD＝k．以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系D－xyz，则点B、E1、D、F1的坐标分别为B(1,1,0)，E1(1,43,1)，D(0,0,0)，F1(0,41,1)例5．如图，在正方体1111DCBAABCD中，4111111BAFDEB，求1BE与1DF所成的角的余弦值．∴1BE＝(1,43,1)－(1,1,0)＝(0,－41,1)，1DF＝(0,41,1)－(0,0,0)＝(0,41,1)．∴417||1BE，417||1DF，1BE·1DF＝1615．∴cos＜1BE,1DF＞＝1715|DF|||·1111BEDFBE练习、如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求1BA与1BC夹角的余弦值．[精解详析]如图，以CA，CB，1CC为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴|BN|＝（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝3，∴线段BN的长为3.(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴1BA＝(1，－1，2)，1CB＝(0，1，2)，∴1BA·1CB＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|1BA|＝6，|1CB|＝5，∴cos〈1BA，1CB〉＝1111·||||BACBBACB＝3010，即1BA与1CB夹角的余弦值为3010.练习1．在ΔABC中，已知＝(2,4,0),＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿＿.ABBC135°2已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)⑴求以向量ACAB,为一组邻边的平行四边形的面积S；⑵若向量a分别与向量ACAB,垂直，且|a|＝3，求向量a的坐标。73S(1,1,1)(1,1,1)aa或今天你学到了什么呢？1.基本知识：（1）向量的加减、数乘和数量积运算的坐标表示；（2）两个向量的夹角公式和垂直、平行判定的坐标表示。2.思想方法：用向量坐标法计算或证明几何问题(1)建立直角坐标系，(2)把点、向量坐标化，(3)对向量计算或证明。【课堂小结】作业1:⑴已知A0,2,3)B2,1,6),(1,1,5)C（、（,则ABC△的面积S=_____.⑵(,2,1)ax,2(3,,5)bx且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围为.7325(1,)232,1,2,1841,2,1,1,3,4,2,51,5,2,2,4,1,,3,aazzABAPPBOPABCpqpq与共线且满足的则三点共线，则4,2,43,38,3134证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、1DD为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，（6）如图，正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是1BB，11DB中点，求证：1EFDA则1(1,1,)2E，11(,,1)22F所以111(,,)222EF，又1(1,0,1)A，(0,0,0)D，所以1(1,0,1)DA所以1111(,,)(1,0,1)0222EFDA，因此1EFDA，即1EFDA