山东郓城一中2010—2011学年第一学期高二数学选修1-1综合测试题

山东郓城一中2010—2011学年第一学期高二数学选修1-1综合测试题时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.命题p：a2+b2＜0(a、b∈R)；命题q：a2+b2≥0(a、b∈R)，下列结论正确的是（）A.“p∨q”为真B.“p∧q”为真C.“﹁p”为假D.“﹁q”为真2.双曲线=1(b0)的一条渐近线方程为3x-2y=0，则b的值为（）A.2B.4C.3D.93.函数y=m的导数为4，则m+n=（）A．2B．3C．4D．54.“三个数a、b、c不都为0”的否定为（）A.a、b、c都不是0B.a、b、c至多有一个为0C.a、b、c至少一个为0D.a、b、c都为05.抛物线y2=9x与直线2x-3y-8=0交于M、N两点，线段MN中点的坐标是（）A.(，-)B.(，)C.(-，-)D.(-，)6.函数f(x)=+3a+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是（）A．（-1，2）B．f(-2，1)C．(-∞，-1)∪(2，+∞)D．(-∞，-2)∪(1，+∞)7.下列命题真命题是（）①∀p∈{正数}，为正数且＜p；②不存在实数x，使x＜4且x2+5x=24；③∃x∈R，使|x+1|≤1且x2＞4；④对实数x，若x2-6x-7=0，则x2-6x-7≥0．A.①B.④C.②③D.①④8.已知椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则动点P(n，m)的轨迹为（）A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.直线的一部分9.对于R上可导的任意函数f(x),若f(x)=f(2-x)，且当x∈(-∞，1)时，(x-1)(x)＜0，设a=f(0)，b=f，c=f(3)．则（）A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.c＜b＜aD.b＜c＜a10.设p，q是两个命题：p：x2―9＞0，q：x2－x+＞0,则p是q的（）．A．充分而不必要条件B.必要而不充分条件C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.已知函数f(x)=，则f(x)的图象在与y轴交点处的切线与两坐标轴围成的图形的面积为（）A.B.C.D.12.已知P为抛物线y2=4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于给定点A(4，5)，则|PA|+d的最小值为（）A.B.-1C.-2D.-4二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13.命题p：∀x∈R，(x-1)(x+2)=0,﹁p是．14.设f(x)=xsinx，则的值为．15.若椭圆+=1(m，n＞0)的离心率为，一个焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点，则椭圆的标准方程为．16.已知函数f(x)=ax-x4，x∈[，1]，A，B是其图象上不同的两点．若直线AB的斜率k总满足≤k≤4，则实数a的值是．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（12分）椭圆+=1的左、右焦点分别为F1和F2，过中心O作直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2的面积为20，求直线AB的方程．yAOF1F2xB18.（12分）命题p：关于的不等式+(a-1)x+≤0的解集为；命题q：函数y=为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围．（1）p、q至少有一个是真命题；（2）p∨q是真命题且p∧q是假命题．19.（12分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线E的方程为y2=4x．（1）已知两点M(1，-3)、N(5，1),若直线MN与抛物线相交于A、B两点，求证：OA⊥OB；（2）过点P(4，0)的直线交抛物线E于C、D两点，求证以弦CD为直径的圆过原点．20.（12分）华宇中学教学楼的直角走廊示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m．CBθ2mPA2m（1）过点P的一条直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为θ(0＜θ＜)．将线段AB的长度l表示为θ的函数；（2）一根长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．21.（12分）已知三点P(5，2)，F1(-6，0)，F2(6，0)．（1）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（2）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、、，求以、为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．22.（1４分）已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R)．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）若函数y=f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[f′(x)+]在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围．参考答案一、选择题1.答：A提示：p假q真．本题考查含逻辑联结词的命题真假判断．2.答：C提示：易求得b=3．本题考查双曲线的标准方程和渐近线性质．3.答：B提示：=m∙(2m+n)，则m∙(2m+n)=4，2m+n-1=3，可得m=1，n=2，所以m+n=3．本题考查导数运算的逆应用．4.答：D．提示：“不都”的否定为“都”．本题考查命题的否定（非）．5.答：B提示：由方程组得2y2-27y-72=0．所以y1+y2=，=，代入方程2x-3y-8=0中，得x=．本题考查直线与抛物线的位置关系．6.答：C提示：=3+6ax+3(a+2)，则△＞0，得a＜-1或a＞2.本题考查导数在极值问题中的应用．7．答：B提示：对于④，若x2-6x-7=0，则x2-6x-7≥0成立．本题考查含有一个量词的命题的真假判断．8.答：D提示：双曲线的焦点为F(±，0)，所以椭圆的焦点为F(±，0)，则=，m+n+4=0，n≤4，m≥-8．本题考查椭圆与双曲线焦点的性质．9.答：B提示：由当x∈(-∞，1)时，(x-1)(x)＜0，知f(x)在(-∞，1)上为增函数．又由f(x)=f(2-x)得c=f(3)=f(-1)，所以c＜a＜b．本题考查导数单调性的应用．10.答:A提示：p：x2―9＞0x＞3或x＜-3；q：x2－x+＞0x＞或x＜．所以p⇒q，qp，所以，p是q的充分而不必要条件．故选A．本题考查充要条件的判断．11.答：C提示：函数f(x)的定义域为{x|x≠2}，(x)==．f(x)的图象与y轴的交点为(0，-)，过此点的切线斜率k=(0)=-．∴直线方程为y+=-x，即x+y+=0．直线与x轴、y轴的交点为(-，0)∪(0，-)．∴S=.本题考查导数几何意义的应用．12.答：B提示：设抛物线y2=4x的焦点为F，则由抛物线的定义可得d=|PF|-1．连接AF，则AF与抛物线的交点P即为使|PA|+d取最小值时的位置，所以(|PA|+d)min=|AF|-1=-1．本题考查抛物线的定义的应用．二、填空题13.答：∃x∈R，x≠1且x≠2．本题考查全称命题的否定的写法．14.答：-1提示：f′(x)=sinx+xcosx,∴=-1．本题考查导数的运算．15.答：+=1提示：由题意得：焦点坐标为(2，0)，所以c=2，因为=，所以a=4，所以m=a2=16，n=b2=a2-c2=12，所以椭圆的标准方程为+=1．本题考查椭圆与抛物线的性质与应用．16.答：提示：f′(x)=a-4x3，由题意知：≤a-4x3≤4恒成立，又x∈[，1]，则≤4x3≤4，得≤a≤，所以a=．本题综合考查导数的计算和几何意义在求参数范围问题中的应用．三、解答题17.解：c==5．设A(x，y)，因为AB过椭圆中心，所以B的坐标为(-x，-y)．因为=20，所以2×|OF2|∙|y|=20，即5|y|=20，所以y=±4，代入椭圆的方程得x=±3，所以直线AB的方程为y=±x．本题考查椭圆知识的应用．18.解：p命题为真时，∆=0,即a,或a-1．①q命题为真时，2-a1，即a1或a-．②（1）p、q至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为a-或a．故p、q至少有一个为真命题时a的取值范围是{a|a-，或a}．（2）p∨q是真命题且p∧q是假命题，有两种情况：p真q假时，a≤1；p假q真时，-1≤a-．故p∨q是真命题且p∧q是假命题时，a的取值范围为{a|a≤1，或-1≤a-}．本题考查命题真假的逆向应用．19.解：（1）由题意得直线MN的方程为y=x-4．由得(x-4)2=4x，即x2-12x+16=0．设A(x1，y1)、B(x2，y2),所以x1x2=16，x1+x2=12，所以y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4（x1+x2）+16=-16，所以x1x2+y1y2=0．故OA⊥OB．（2）由题设知，弦CD所在的直线的斜率不为零，故设弦CD所在的直线方程为x=my+4,代入y2=4x，得y2-4my-16=0．设C(x3，y3)、D（x4，y4），所以y3+y4=4m，y3y4=-16．所以kOC∙kOD=∙====-1,∴OC⊥OD．故以弦CD为直径的圆过原点．本题考查抛物线知识的综合应用．20.解：（1）根据图得l(θ)=BP+AP=+,θ∈(0，)．（2）铁棒能水平通过该直角走廊．理由如下：l′(θ)=()′+()′=+=．令l′(θ)=0得，θ=．当0＜θ＜时，l′(θ)＜0，l(θ)为减函数；当＜θ＜时，l′(θ)＞0，l(θ)为增函数．所以当θ=时，l(θ)有最小值4．因为4＞5，所以铁棒能水平通过该直角走廊．本题考查导数在生活优化问题中的应用．21.解：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+=1(a＞b＞0)，其半焦距c=6，2a=|PF1|+|PF2|=+=6，所以a=3，b2=a2-c2=45-36=9，故所求椭圆的标准方程为+=1．（2）点P(5，2)，F1(-6，0)，F2(6，0)关于直线y=x的对称点分别为P′(2，5)、(0，-6)、(0，6)．设所求双曲线的标准方程为-=1(a1＞0，b1＞0)，由题意知半焦距c1=6，2a1=-=|-|=4，所以a1=2，=-=36-20=16，故所求双曲线的标准方程为-=1．本题综合考查椭圆与双曲线知识的综合应用．22.解：（1）f′(x)=-a=，函数f(x)的定义域为(0，+∞)，当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)；当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，+∞)，单调递减区间为(0，1)．（2）因为函数y=f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1，所以f′(2)=-=1，解得a=-2，所以f(x)=-2lnx+2x-3，所以g(x)=x3+x2[+]=x3+(+2)x2-2x，所以g′(x)=3x2+(m+4)x-2，令g′(x)=0，即3x2+(m+4)x-2=0，因为△=(m+4)2+24＞0，所以方程g′(x)=0有两个实根且两根一正一负，即有且只有一个正根，因为函数y=g(x)在(t，3)(其中t∈[1，2])上总不是单调函数，所以方程g′(x)=0在x∈(t，3)上有且只有一个实数根，又因为g′(0)=-2＜0，所以g′(t)＜0，g′(3)＞0，所以m＞-，且(m+4)t＜2-3t2，因为t∈[1，2]，所以m+4＜-3t，令h(t)=-3t，则h′(t)=--3＜0，即h(t)在t∈[1，2]上单调递减，所以m+4＜h(2)=-6=-5，即m＜-9，所以-＜m＜-9．综上可得，m的取值范围为m∈(-，-9)．本题考查导数在研究函数的单调性、方程的根等方面的应用．