奥赛辅导（十三）

第1页共25页第十三讲光学基础一、知识点击1．几何光学的基本实验定律光的直线传播定律：在均匀介质中，光线为一直线．光的独立传播定律：自不同方向或由不同物体发出的光线相交时，对每一光线的独立传播不发生影响．光的反射和折射定律：光从一种介质射向另一种介质时，在界面上会同时产生反射和折射两种现象．光的反射遵从反射定律，光的折射遵从折射定律，折射定律的数学表达式是1122sinsinnini，反射定律可看作是折射定律当21nn时的特例．当光从光密介质射向光疏介质且人射角大于或等于临界角时，就发生全反射．2．单球面折射与反射成像在近轴条件下，折射球面的成像公式为nnnnssr式中s是物距，s是像距，r是球面曲经半径，n和n'分别为折射球面的物方折射率和像方折射率．上式可改写成更具普遍性的高斯成像公式：1ffss其中nfrnn和nfrnn分别为折射球面的像方焦距和物方焦距。像长y与物长y之比称做垂轴（横向）放大率，对单折射球面成像，有ynsyns在球面折射成像公式中，令r=∞，得平面折射成像公式：nssn在球面折射成像公式中，令nn，得球面反射成像公式：112ssr球面反射成像的垂轴放大率公式为ysys在平面折射成像公式中，令nn，得平面反射成像公式为ss第2页共25页平面反射成像时垂轴放大率13．薄透镜的成像近轴条件下，薄透镜的成像公式为211212nnnnnnssrr利角物方焦距11212nfnnnnrr和像方焦距21212nfnnnnrr就可以得到薄透镜成像的高斯公式：1ffss对于空气中的薄透镜，n1＝n2＝1，焦距公式简化为ff物像公式变为111ssf薄透镜成像的垂轴放大率为12nsyyns4．光的波动性和光的量子性⑴光的波动性：光波是一定波长范围内的电磁波。可见光的波长在0.40μm到0.76μm之间，波长长于0.76μm的光波称为红外线，波长短于0.40μm的光波称为紫外线。惠更斯一菲涅耳原理：光波波面上每一点都可看作是一个次级波源，各次波源是相干光源，空间某点的光振动是这些相干次波的合振动．惠更斯一菲涅耳原理是波动光学的理论基础．光的干涉和衍射现象是光的波动性的体现．⑵光的量子性：为了解释光电效应的实验规律，爱因斯坦提出了光量子（简称光子）的概念．单个光子的能量E与频率成正比，即Eh，式中h是普朗克常数．由此他成功地解释了光电效应，并从理论上得到了光电效应方程：212mhmW光子既然具有一定的能量，就必须具有质量。按照狭义第3页共25页相对论质量和能量的关系2Emc，就可以确定一个光子的质量：22Ehmcc，但光子的静止质量等于零．光子也具有动量，一个光子的动量大小为Ehhpcc用光子的概念可以简单而成功地解释康普顿效应，这是对光子假说的有力支持．二、方法演练类型一、用反射成像和作光路图解决实际问题。例1．如图13—1所示，内表面只反射而不吸收光的圆筒内有一半径为R的黑球。距球心为2R处有一点光源S，球心O和光源S皆在圆筒轴线上，如图所示。若使点光源向右半边发出的光最后全被黑球吸收，则筒的内半径r最大为多少？分析和解：自S作球的切线SM，并画出S经管壁反射形成的虚像点S',及由S'画出球面的切线S'N，如图13—2所示，由图可看出，只要S'M和S'N之间有一夹角，则筒壁对从S向右的光线的反射光线就有一部分进入球的右方，不会完全落在球上被吸收。由图可看出，如果r的大小恰能使S'N与S'M重合，如图13一3，则r就是题所要求的筒的内半径的最大值。这时SM与MN的交点到球心的距离MO就是所要求的筒的半径r.由图13—3可得2cos1sinRRr由几何关系可知sin2RR第4页共25页由①、②式得233Rr类型二、用的折射定律和微元法分析解决光在非均匀介质中的传播问题。例2．有一块两面平行的透明板，其厚度为d，折射率按下式变化：01xnnxr，一束光自O点由空气中垂直射人平行板内，并从A点以角射出，如图13—4所示。已知n0=1.2，r＝13cm，=300。试求平板的厚度d。分析和解：初看起来，本题似乎难于下手。我们可以遵循以下的思路来寻求解题的途径：先分析光线在板内的轨迹特征，由此轨迹确定A点的空间位置及光线在该点的入射方向，再由A点处光线的折射关系建立有关的方程来求解。我们先分析一下根据本题介质分布情况而建立的一个特殊模型。设有折射率不同的几层均匀介质，其层间的分界面互相平行，又设有光线依次进入各层介质，如图13一5所示。其中各层介质的折射率分别为n1、n2、n3…光线与分界面法线的夹角分别为123iii、、…由折射定律可以得到2112sinsininin即1122sinsinnini同理可得2233sinsinnini显然有112233sinsinsinninini常数将上述结论用于本题，可将本题的介质分布看成是层数无限多、层厚趋于零的情况，故仍有sinxxni=常数由于x=0时，001xnnnxr又此时0090i，0sin1i，故上式中的常数即为0n，则上式变为0sinxxnin将xn的表达式代入上式，即得sin1xxir由图13—6可见，上式表示的是以点（r，0）为圆心，以r第5页共25页为半径的圆的方程，亦即说明光线在此介质中是沿此圆弧传播的。光线自题给的A点由平板中射入空气中时，应满足的方程是（注意此时的介质分界面与x轴平行，而讨论光在平板内传播时，分层介质的分界面则与x轴垂直）0sinsin90AAni（）由于01AAnnxr又注意到A点在前述的圆周上，故有220sin90cosAAArrxiir（）（）联立上述三式可解得20sin2AAAnrxxrx将题中的已知数值代人上式即可解得1Axcm故平板的厚度为22()AAdyrrx类型三、光通过简单的单折射球面近轴成像问题。例3．有一种高脚酒杯，如图13—7所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R=1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm。这种酒杯未斟酒时。若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物。已知玻璃的折射率n1=1.56，酒的折射率n2=1.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。分析和解：把酒杯放平，分析成像问题。第6页共25页（1）未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0=1。在图13－8中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的另一近轴光线PA在A处折射后与轴交于P'点，P'点即为P的像点。采用我们前面规定的符号法则，物像距公式为0011nnnnssR以n0=1，n1=1.56，s=­6.3cm，R=­1.50cm代入，求得S'=7.9cm。由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9cm处。已知O到杯口平面的距离为8.0cm。当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物。（2）斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图13一9所示，此时，以n1=1.56，n2=1.34，S=­6.3cm，R=­1.50cm代入物像距公式2121nnnnssR解得13scm，P'为P点的虚像点，它位于O点左方13cm处。由此可见．斟酒后画片上景物成虚像于P'处，距O点13cm，即距杯口21cm。虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一段距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上的虚像。类型四、光通过共轴球面系统的近轴成像问题。例4．在焦距为20.00cm的薄凸透镜的主轴上离透镜中心30.00cm处有一小发光点P，一个厚度可以忽略的光楔C（顶角很小的的三棱镜）放在发光点与透镜之间，垂直于主轴，与透镜的距离为2.00cm，如图13一10第7页共25页所示。设光楔的折射率n=1.5，楔角=0.028弧度，在透镜另一侧离透镜中心46.25cm处放一平面镜M，其反射面向着透镜并垂直于主轴。问最后形成的发光点的像相对发光点的位置在何处？（只讨论近轴光线，小角度近似适用，在分析计算过程中应作出必要的光路图）。分析和解：本题共有五次成像过程（1）光楔使入射光线偏折，其偏向角为(1)(1.51)0.0280.014n弧度弧度因与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样角度。又因光楔厚度可忽略，所以作光路图时可画成一使光线产生偏向角的薄平板，见图13一11。光点P经光楔成一虚像点1P。对近轴光线，1P在P正上方，到P的距离为h，离光楔距离b=28.00cm。(1)0.39hbnbcm。（2）1P为透镜L的实物，像点2P的位置可由下式求出：11111ssf以130.00scm，20.00fcm代入，得160.00scm将1PP，视为与光轴垂直的小物，由垂轴放大率公式111ss可求得210.78hhcm第8页共25页即像点2P在光轴下方与光轴的距离为0.78cm，与透镜中心的距离为60.00cm处。见图13一12。（3）2P在平面镜之后，对平面镜是虚物，经平面镜成实像，像点3P与2P对称于平面镜。d＝13.75cm320.78hhcm（4）3P作为透镜的实物，经透镜折射后再次成像，设像点2P，此时物距s2=32.50cm,像距252.00scm。2P在透镜左侧，主轴上方，见图13一13。221.25hhcm（5）第二次经透镜折射后成像的光线还要经光楔偏折，再次成像，像点1P，在2P正下方，离光楔距离为50cm，离光轴的距离为h。0.70hbcm20.55hhhcm像点1P在光轴上的垂足与P的距离为22.00sbbcm即最后的像点在发光点P左侧光轴上方，到光轴的距离为0.55cm，其在光轴上的垂足到P的距离为22.00cm。类型五、在计算两相干光的光程差的基础上分析干涉条纹的方法解尖劈形薄膜干涉在实践中有着广泛的应用的问题。例5．块规是机加工里用的一种长度标准，它是一钢质长方体，它的两个端面经过抛平磨光，达到相互平行。图13－14中，G1、G2是同规号的两个块规，G1长度是标准的，G2是要校准的。校准方法如下：把G1和G2放在钢质平台第9页共25页上，使面和面严密接触，G1、G2上面用一透明平板T压住。如果G1和G2的高度（即长度）不等，微有差别，则在T和G1、G2之间分别形成尖劈形空气薄层，它们在单色光垂直照射下各产生干涉条纹。（1）设入射光的波长为5893oA，G1和G2相隔L=5cm，T和G1、G2间的干涉条纹间距都是0.5mm，试求G1和G2的高度之差，怎样判断它们谁长谁短？（2）如果T和G1间的干涉条纹的间距是0.5mm，而T和G2间的是0.3mm，则说明什么问题？分析和解：（1）如图13一15，空气薄层为尖劈形，其折射率近似为1.0，空气层上表面和下表面的反射光叠加后产生干涉极大的条件是22hk相邻两干涉极大处空气层的厚度差为212hhh由于劈的棱角很小，故条纹间距x与相应的厚度变化之间的关系为hx由此可得2x在本题（1）中，两个劈形空气层的干涉条纹间距相等，均为0.5mm,因此两空气层的棱角也必然相等，均为2x，于是G1和G2的高度差29.472HLLmx当然，要判断哪块高，就不是图上画的那么显而易见了，仅靠静态条纹的性质是无法做出判断的。为此，轻压盖板T的中部，两处条纹疏密变化正好相反，