奥赛辅导（十五）

第1页共42页第十五讲热学基础湖南郴州市湘南中学陈礼生一．分子动理论：分子动理论的基本的观点；理想气体的压强与温度１．无论是振动还是迁移，都具备两个特点：a、偶然无序（杂乱无章）和统计有序（分子数比率和速率对应一定的规律——如麦克斯韦速率分布函数，如图6-2所示）；b、剧烈程度和温度相关。气体分子的三种速率。最可几速率vP：f(v)=NN（其中ΔN表示v到v+Δv内分子数，N表示分子总数）极大时的速率，vP=RT2=mkT2；平均速率v：所有分子速率的算术平均值，v=RT8=mkT8；方均根速率2v：与分子平均动能密切相关的一个速率，2v=RT3=mkT3〔其中R为普适气体恒量，R=8.31J/(mol.K)。k为玻耳兹曼常量，k=ANR=1.38×10－23J/K２．压强的微观意义：22211,,322kkpnEnEmvmv式中是分子数密度，＝即分子的平均动能３．温度的微观意义：,,23,32KKNpVRTnpnkTVpnEEkTAARN克拉珀龙方程：引入玻耳兹曼常数k=.又因为：＝得到：NN代入得：＝上式表明，宏观量的温度只与气体分子的平均平动动能有关，它与热力学温度成正比，所以温度成为表征物质分子热运动剧烈程度的物理量。对所有物质均适用。对单个分子谈温度毫无意义。１．某些双原子分子中原子Ａ、Ｂ之间的相互作用力（径向力），与原子中心间第2页共42页距r的关系为：23abFrr，其中Ｆ为正时代表斥力，Ｆ为负时代表引力，a、b均为正量。设Ａ的质量远大于Ｂ的质量m，在不受其它外力作用的条件下，Ａ在某惯性体系中可近似认为静止不动。试求Ｂ在力平衡位置附近做微小振动的周期Ｔ。２．证明理想气体的压强P=32nK，其中n为分子数密度，K为气体分子平均动能。二．气体状态方程的应用：１．克拉珀龙方程：,8.31/pVRTRJmolK气体密度：mpMVRT在不发生化学变化和物态变化的情况下，气体混合前后分子数不变，摩尔数不变，故有：1231,kiiknipVTpV……+T２．道尔顿分压定律：各种不同化学成分的理想气体组成的混合气体，当其中各组分之间无化学反应，又无其它相互作用，混合理想气体的总压强等于各种气体组成部分的分压强之和。即1niipp总３．状态图线：Ｐ－Ｖ图，Ｖ－Ｔ图，Ｐ－Ｔ图。一个点表示一个状态，一段曲线表示一个过程４．气体实验三定律在压强不太大，温度不太低的条件下，气体的状态变化遵从以下三个实验定律a、玻意耳-马略特定律：一定质量气体温度不变时，P1V1=P2V2或PV=恒量b、查理定律：一定质量气体体积不变时，11TP=22TP或TP=恒量c、盖·吕萨克定律：一定质量气体压强不变时，11TV=22TV或TV=恒量５．理想气体状态方程：一定质量的理想气体，111TVP=222TVP或TPV=恒量第3页共42页【例题5】如图6-7所示，在标准大气压下，一端封闭的玻璃管长96cm，内有一段长20cm的水银柱，当温度为27℃且管口向上竖直放置时，被封闭的气柱长为60cm。试问：当温度至少升高到多少度，水银柱才会从玻璃管中全部溢出？【解说】首先应该明确的是，这是一个只有唯一解的问题还是一个存在范围讨论的问题。如果是前一种可能，似乎应该这样解：111TLP=222TLP，即300602076）（=2T9676，得：T2=380K但是，仔细研究一下升温气体膨胀的全过程，就会发现，在某些区域，准静态过程是不可能达成的，因此状态方程的应用失去意义。为了研究准静态过程是否可能达成，我们可以假定水银柱是受到某种制约而准静态膨胀的，这样，气柱的压强只受玻马定律制约（而与外界大气压、水银柱长没有关系），设为P。而对于一般的末状态，水银柱在管中剩下的长度设为x。从初态到这个一般的末态111TLP=TPL，即300602076）（=T)x96(P，得P=x96T2.19隔离水银柱下面的液面分析，可知P≤76+x时准静态过程能够达成（P可以随升温而增大，直至不等式取等号），而P＞76+x时准静态过程无法达成（T升高时，P增大而x减小），水银自动溢出。所以，自动溢出的条件是：T＞2.191（－x2+20x+7296）考查函数y=2.191（－x2+20x+7296）发现，当x=10cm时，ymax=385.2K而前面求出的x=0时，T只有380K，说明后阶段无须升温，即是自动溢．．．．．．．．．．．．．出过程．．．（参照图6-8理解）。而T＞ymax即是题意所求。【答案】385.2K。【例题6】图6-9是一种测量低温用的气体温度计，它的下端是测温泡A，上端是压力计B，两者通过绝热毛细管相连，毛细管容积不计。操作时先把测温计在室温T0下充气至大气压P0，然后加以密封，再将A浸入待测液体中，当第4页共42页A和待测液体达到热平衡后，B的读数为P，已知A和B的容积分别为VA和VB，试求待测液体的温度。【解说】本题是“推论2”的直接应用0BA0T)VV(P=AATPV+0BTPV【答案】TA=BBA00APV)VV(PTPV【例题7】图6-10所示是一定质量理想气体状态变化所经历的P-T图线，该图线是以C点为圆心的圆。P轴则C点的纵坐标PC为单位（T轴以TC为单位）。若已知在此过程中气体所经历的最低温度为T0，则在此过程中，气体密度的最大值ρ1和最小值ρ2之比ρ1/ρ2应等于多少？【解说】本题物理知识甚简，应用“推论1”即可。111TP=222TP21=1221TPTP=2211T/PT/P此式表明，TP越大时，ρ就越大。故本题归结为求TP的极大值和极小值。方法一：P与T的关系服从圆的方程（参数方程为佳）T=Tc+rcosθP=PC+rsinθ引入y=TP=cosrTsinrPCC，然后求这个函数的极值…方法二：见图6-11，从TP的几何意义可知，TP等于状态点到原点的连线与T轴夹角的正切值，求TP的极大和极小归结为求这个正切值的极大和极小——很显然，当直线与圆周的两处相切时，出现了这样的极大和极小值。θmax=α+β，θmin=α−β而tgα=CCTPsinβ=2C2CPTrtgβ=0C0CTT2TT（注意：依题意，r=TC−T0）所以tgθmax=tgtg1tgtg=)TT(PTT2T)TT(TTT2P0CC0CC0CC0CC第5页共42页tgθmin=tgtg1tgtg=)TT(PTT2T)TT(TTT2P0CC0CC0CC0CC【答案】〔)TT(PTT2T)TT(TTT2P0CC0CC0CC0CC〕/〔)TT(PTT2T)TT(TTT2P0CC0CC0CC0CC〕。三．热力学定律的应用：１．理想气体的内能：222iiiENkTRTpV，式中Ｎ为分子总数，为摩尔数，k为玻尔兹曼常数，Ｒ为普适气体恒量。i为分子的自由度。对于单原子分子气体（如He,Ne,Ar）,i=3,对于双原子分子（如O2,H2,CO），i=5,对于多原子分子气体i=6２．理想气体内能的变化：2211()22iiERTpvpv４．吸放热的计算初中所学的通式Q=cmΔT仍适用，但值得注意的是，对固体和液体而言，比热容c基本恒定（和材料相关），但对气体而言，c会随着过程的不同而不同。对理想气体，我们一般引进“摩尔热容”C（从克拉珀龙方程知，我们关心气体的摩尔数更甚于关心气体的质量），物理意义：1摩尔物质温度每升高1K所吸收的热量。摩尔热容和比热容的关系C=cm。摩尔热容：１ｍｏｌ物质每升高１Ｋ所吸收的热量。对气体而言，可分为定容摩尔热容和定压摩尔热容。12,22vpiCiRCCvRR定容摩尔热容：定压摩尔热容：①等容过程的吸热：Q=CVΔT②等压过程的的吸热：Q=CPΔT对于其它的复杂过程而言，摩尔热容的表达比较困难，因此，用直接的途径求热量不可取，这时，我们改用间接途径：即求得ΔE和W后，再用热力学第一定律求Q。６．气体做功的计算：气体在状态变化时，其压强完全可以是变化的，所以气体压力的功从定义第6页共42页角度寻求比较困难。但我们可以从等压过程的功外推到变压过程的功（☆无限分割→代数累计…），并最终得出这样一个非常实用的结论：准静态过程理想气体的功W总是对应P-V图象中的“面积”。这个面积的理解分三层意思——①如果体积是缩小的，外界对气体做功，面积计为正；②如果体积是增大的，气体对外界做功，面积计为负；③如果体积参量变化不是单调的（例如循环过程），则面积应计相应的差值。如图6-3所示。３．热力学第一定律：ΔE=W+Q,注意各量的正负号的规定。1.热力学第一定律对于理想气体等值过程的应用等容过程等容过程的特征是气体体积保持不变，V0，故W0，由热力学第一定律可知，在等容过程中，气体与外界交换的热量等于气体内能的增量：miQERTM2VmCTM.VC称做定容摩尔比热容，ViCR2，i为分子的自由度，对于单原子分子气体，i3；对于双原子分子气体，i5；而对于多原子分子气体i6.R为摩尔气体常数，8.31J/(molK)R．等压过程等压过程的特征是气体压强保持不变，0p，mWpVRTM,由热力学第一定律可得，在等压变化过程中气体与外界交换的热量为222pmimmimQEpVRTRTRTCTMMMM.pC称做定压摩尔比热容，pVCCR，而2pVCiCi称为比热容比．对于单原子分子气体，53；而双原子分子气体，75；多原子分子气体则有86.VC、第7页共42页pC及均只与气体分子的自由度有关而与气体温度无关.等温过程等温过程的特征是气体温度保持不变，0T，由于理想气体的内能取决于温度，故0E，由热力学第一定律可知在等温变化过程中气体与外界交换的热量为WQ.理想气体在等温变化中，TmpVCRTM,设气体体积从1V膨胀到2V，压强从1p减小到2p，所做的功为W，将这个功()nn等分，每份元功()1TiiiCWVVnV，即11iiTVWVnC，两边取n次方得()()2111TTnCWWCnTTVWWVnCnC，当n时lim()01TTTTnC，lnlnln221112TVVpmmWCRTRTVMVMp，则lnln2112VpmmQRTRTMVMp.绝热过程气体在不与外界发生热交换的条件下所发生的状态变化称做绝热过程，其特点是0Q，由热力学第一定律可得VmWECTM.绝热过程中气体方程为mpVRTM，则对某一元过程有()()()111111iiiiiiiiiiiimpVpVpVVVppRTTM；而此元过程气体做元功为()()111iiiViimWpVVCTTM，则有()()()11111iiiiiiiiiVpVVpVVVppRC()()111iiipVV，即有110iiiiiiVVppVp.若令1iiiVVAVn(n，A为一定值)则有()11iiVAVn，()()11nAnAiiVAVn，ln21VAV同理可得ln12pAp，可知在绝热过程中气体的压强与体积有关系()()1122pVpV，()pV常量，此称泊松方程.通过mpVRTM消去泊松方程中的p或V，可得1VT常量.绝热过程的这三个方程中，常量各不相同，大小与气体的质量及初始状态相关，绝热过程中p、V、T均改变，我们可按照问题的性质，适当地选取较方便的来应用．第8页共42页多方过程我们可用npV常量(n为一常量，称多方指数)来表示气体发生状态变化的实际过程，1n时为等温过程；n时为绝热过程；0n时为等压过程；当n时为等容过程．凡可满足npV常量关系的过程均称为多方过程．通常的