大学物理学业竞赛讲座

1大学物理学业竞赛讲座力学例题及解答例1一质点沿x轴运动，其速度与位置坐标的关系为12xv，若t=0时质点位于坐标原点，求t时刻质点的位置坐标和加速度。解：00221211(1)2xttdxvxdtdxdtxxe2222tdxaedt例2一半径为R的半圆柱体沿水平方向作加速度为a的匀加速运动，如图示。竖直杆只能在竖直方向运动。当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体的接触点P的角位置为。求此时竖直杆运动的速度和加速度。解：sinxRcosyRcoscosdxddvvRdtdtdtRsintanpdydvRvdtdt223tansectancosppdvdvaavadtdtR例3如图示合页构件由两个菱形组成，其边长之比为2：1。顶点A2以速度v0水平移动，求当构件的所有角为直角时，顶点A1、B1、B2的速度yRxPyRxPA0B1A1B2C1C2v0A2ll/22解：23cosAxl2003sin3sinAdxvddvldtdtdtl12cosAxl11022sin3AAdxdvlvdtdt1cosBxl1101sin3BBxdxdvlvdtdt1sinByl1101cosctg3BBydydvlvdtdt25cos2Bxl22055sin26BBxdxdvlvdtdt21sin2Byl22011cosctg26BBydydvlvdtdt例4甲、乙两小孩在做游戏，甲在树上，乙在地上用枪描准甲，乙一开枪，甲就从树上跳下（初速度为零）。问：甲是否被击中？若被击中，求出被击中的时间和地点。解：（略）例5一质量为m的质点t=0时自坐标原点以初速ivvo0做平抛运动，运动过程中受到空气阻力vmkf，求:（1）t时刻质点的速度；（2）质点的运动方程。解：（1）amfgm(2)(1)dtdvmmkvmgdtdvmmkvyyxx由（1）：ktxvvxxtxxevvvdvdtkdtdvkvx000)(由（2）：甲乙0vsh甲乙0vshxyOmgfv0xyOmgfv03)1(/)(00ktyvyytyyekgvkgvdvdtkdtdvkvgy)1(0ktyktxekgvevv（2）)1(00000kttktxktxekvxdtevdxevdtdxv)1()1()1(200kttktyktyekgtkgydtekgdyekgdtdyv)1()1(20ktktekgtkgyekvx讨论：（1）0k，gtvvvyx0,2021gtytvx——理想平抛运动（2）t，kgvvyx/0,20kgtkgykvx——匀速直线运动例6一小环A套在半径为a的竖直大圆环上，小环与大环之间的摩擦系数为，证明：当大环以匀角速绕它自己水平轴O转动时，如果4/122/1)/11()/(ag则小环与大环之间无相对运动。解：NmgfmamgNsincos2)cos(sin2mgmamg2/1)cossin(ag令)cossin()(f，0)('f/1tan221/cos,1/1sinAOaAOagmNfagmNfagmNfa44/122/1)11()(ag例7如图，设所有的接触面都光滑，求物体m相对于斜面的加速度和M相对于地面的加速度。解1：011sincossinMaNmamgNmamgyx'0aaasin'cos00aaaaayx01010sinsincos)'cos(sinMaNmamgNaammg202sincossinsinsin)('mMmgamMgmMa解2：01010sin0sincos'cossinMaNmamgNmamamg202sincossinsinsin)('mMmgamMgmMa例8一质量为m的质点以初速0v，抛射角作斜抛运动，落地时与地面发生碰撞，而后作第二次斜抛运动。设质点两次斜抛运动的飞行时间相等，而第二次斜抛运动的射程是第一次的一半，求碰撞时地面对质点的冲量。mMgm1NaxyOgM1N2N0agm1NaxyOgM1N2N0agM1N2N0aagM1N2N0a0ammgN1xyYXs122/s1Δt2Δt0vyxmgmgFv1xv2xs122/s1Δt2Δt0vyxmgmgFv1xv2x5解：12mgtjmgtjI21xxvivi2112()()xxImvvimgttj012sinvttg，cos21,cos0201vvvvxx001cossin2Imvimvj例9一质量为M的圆环用线悬挂着，两质量为m的有孔小珠套在此环上，小珠可在环上无摩擦滑动，如图所示。今将两小珠从环的顶部释放，使之沿相反方向自由滑下。（1）证明：为使小珠下滑过程中大环能升起，m和M必须满足：Mm23；（2）在满足上述条件下，求大环开始升起时小珠与环中心连线与竖直线的夹角。解：（1）RmvNmgmvmgR22cos21)cos1()cos32(mgN上升条件：MgNcos2，即Mgmgcos)cos32(206cos32cos2mM以上不等式有解：MmmM2306494（2）Mm23当时，以上不等式的解为：1313(11)cos(11)3232MMmm即开始上升时，)2311(31cos1mM例10如图所示，半径为R、质量为M、表面光滑的半球放在光滑的水平面上，在其正上方置一质量为m的小滑块。当小滑块从顶部无初速地下滑后，在图示的角位置处开始脱离半球，已知cos＝0.7，求M/m。mmOMmmOM6解：222011()(1cos)22xxymvMVMVmvvmgR'vVvsin'cos'vvVvvyx2222('cos)011[('cos)'sin](1cos)22mvVMVMVmvVvmgR2222()(1cos)'sin(1cos)cos()(sin)MmgRvMmmgRVMmMm脱离球面的条件：N＝0，则222()(1cos)cossinvMmmgmgmRMm3cos3cos22.433cos2Mm例11用一弹簧把质量各为m1和m2的两木块连起来，一起放在地面上，弹簧的质量可不计，而m2m1，问：对上面的木块必须施加多大的压力Ｆ，以便在Ｆ突然撒去而上面的木块跳起来时，恰能使下面的木块提离地面？解：11Fmgkx（1）m2刚好能被提起的条件：22mgkx（2）机械能守恒：221112121122kxmgxkxmgx（3）根据（1）～（3）可得12()Fmmg例12如图，求当人从小车的一端走到另一端时，小车相对与地面移动的距离。MmvRVm2m1Fm2m1Fm2m1x1x2Fx＝0m2m1x1x2Fx＝07解：MmMlmlxC2/1MmlsMmsxC)2/(2由21CCxx得：Mmmls例13如图，质量为m的小球，拴于不可伸长的轻绳上，在光滑水平桌面上作匀速圆周运动，其半径为R，角速度为，绳的另一端通过光滑的竖直管用手拉住，如把绳向下拉R/2时角速度为多少？解：2LmvRmR21'''24RLmvmR'LL'4例14如图所示，质量为m的小球B放在光滑的水平槽内，现以一长为l的细绳连接另一质量为m的小球A，开始时细绳处于松弛状态,A与B相距为l/2。球A以初速度v0在光滑的水平地面上向右运动。当A运动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B球开始运动时速度vB的大小。解：0000||0||/2cos60cos30cos30ABAABAmvlmvlmvmvmvmvvv037Bvv例15固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO转动，设大小圆柱的半径分别为R和r，质量分别为M和m，绕在两柱体上的细绳分别与物体m1FmRFmRl/2lBAAvAl/2lBAAvArROOm2m1lmMxylmMxylsyxlsylsyx8和物体m2相连，m1和m2则挂在圆柱体的两侧，如图所示，设R=0.20m，r=0.10m，m=4kg，M=10kg，m1=m2=2kg，求柱体转动时的角加速度及两侧绳中的张力。1111222212122212,1122mgTmamgTmaTRTrJaRarJmRmr2126.13/17.220.8radsTNTN例16如图，滑轮质量为M，半径为R，物体质量m，弹簧屈强系数k，斜面倾角均为已知。开始时扶住物体m，使系统保持静止，弹簧无伸缩，然后放开。求：（1）物体下滑距离为x时的速度为多少？（2）下滑距离x为多大时，物体的速度为最大，最大速度为多少？（3）物体下滑的最大距离为多大？（设绳子与滑轮间无相对滑动）解：（1）22221110sin22212mvIkxmgxvRJMR22sin/2sin/2mgxkxvmMmgkxdvdvdxdvavdtdxdtdxmM（2）2/sin,sin0maxMmmgxvkmgxdxdvmxxm（3）kmgxvxxsin20maxmax例17如图，长为l，质量为m的匀质细棒的两端分别连着质量均为m的小球A和质量为2m的小球B。整个系统绕过细棒的中点O的水平轴自水平位置以零初速自由下摆，求：MmkRMmkRRrT1T2m2gm1gT2T1m2ml/2l/2ABOm2ml/2l/2ABO9（1）系统摆到某一角位置时，细棒的角速度和角加速度；（2）此时细棒对小球A、B的作用力。解：（1）2222210sin2sin22215()2()22126llmgmgJllJmmmlmllg5sin6lgdddtddddtd5cos3（2）cos1032glaBt，sin5322glaBnsin5322sin2cos10322cos2gmmamgTgmmaTmgBnBnBtBtsin516cos57mgTmgTBnBt同理：sin52cos1013mgTmgTAnAt例18水平面内有一静止的长为l，质量为m的细棒，可绕通过棒一端O点的铅直轴旋转。今有一质量为m/2、速率为v0的子弹在水平面内沿棒的垂直方向射击棒的中点，子弹穿出时速率减为v0/2。当棒转动后，设棒上各点单位长度受到的阻力正比于该点的速率（比例系数为k）。试求：（1）子弹穿击瞬时，棒的角速度0为多少？（2）当棒以角速度转动时，受到的阻力矩Mf为多少？（3）棒的角速度从0变为0/2时，经历的时间为多少？图11OAgm2BBnTBtTgmAtTAnT