第一届泛珠三角物理奥林匹克高一组赛题纸

中国物理课程网第一届泛珠三角物理奥林匹克高一组赛题纸【题1】(10分)光滑平面上有两条长度均2l、而质量分别为mA和mB的均匀蠕虫A和B。它们的起始位置如图中实线所示，蠕虫A的质心位于x-y坐标（0,0）。(3分)试用参量l,、mA和mB分别表示蠕虫質心B的座標和A+B系统质心的座標。(a)(7分)蠕虫B开始慢慢从A身上爬过，爬时两虫的身体轴线始终保持夹角。试分别写出：当蠕虫B如虚线所示爬过A后，两虫质心A和B位置的坐标。【题2】(12分)两个具有相同质量m的橡胶球碰撞后，仍沿原直线运动。(a)(5分)两橡胶球以相同速率v迎头相撞后反弹，且在碰撞过程中损失了36%的动能。求球反弹的速度。(b)(7分)一橡胶球以速率v撞向另一静止橡胶球。求两球各自速度和总共损失的动能。注意：只有当两球以相同速率迎头相撞时，碰撞过程中损失的动能才是原来的36﹪.【题3】(14分)一质量为m的人站在一以角速度旋转的厚度质量均匀，质量为2m，半径为R的圆台上。圆台与中心转轴间无磨擦。该人离圆台中心距离为rR，并带有10颗质量为0.1m的石子。(a)(2分)求整个系统的角动量矩L。为了减速该人准备向外扔石子。石子扔出时相对于他的速度为v，方向与半径方向成夹角。yxBA2(b)(6分)求当他扔了一石子后圆台的角速度，并找出使角速度减少最多的夹角max。(c)(6分)求当他以max扔光石子后圆台的角速度。【题4】(20分)图中A是一放在滑动摩擦系数为A地面上、质量为M的立方体木块。B是一个固定在木块A上的定滑轮，质量不计。C是一用不可伸长的轻细线拴着、质量为m的小木块，它的一边与木块A的竖直边紧靠着，接触面的滑动摩擦系数为C。拴小木块C的轻细线跨过光滑的定滑轮B固定在竖直墙上，从固定点O到定滑轮B的那段细线是水平的。试：(a)(12分)分别绘出木块A和木块C的受力图，及指出运动方向。(b)(8分)求木块A的加速度。【题5】(18分)如图所示，长为L的细绳上端固定在天花板上靠近墙壁的O点，下端系一质量为m的小球竖直悬挂起来，A点是平衡时小球的位置，保持绳绷直。将小球从A点拉开到绳水平的位置B，然后在OA连线上于墙上固定一细长的钉子于某点。当摆到竖直位置再向左摆时，钉子就挡住摆线，结果只有钉子以下部分可继续向左摆。设摆球作圆周运动的过程中摆线始终处于拉直状态。问下列两种情况下，钉子到悬点O的距离x1和x2各是多少？(a)(7分)将球释放后，绳被钉子O1挡住，摆球以O1为圆心做圆周运动，并可绕过钉子的正上方C点，如图(a)所示。(b)(11分)将球释放后，绳被钉子O2挡住后，小球以O2为圆心做圆周运动，并在D点作斜上拋运动，刚好能击中钉子O2，如图(b)所示。BAC3图(a)图(b)【题6】(26分)如图所示，长度为2l重量为P的均质杆AB放在半圆形的半径为r的光滑槽内(rl2r)。ABCDO(a)试(6分)绘出AB杆的受力图；(8分)求AB杆平衡时与直径CD的夹角，及A、D两点的约束反力NA、ND。(用参量l,r及P表示。)(b)设k＝rl，试(4分)求当比值k＝2时的夹角NA、ND，并绘出此时AB杆位置示意图；(ii)(3分)求当夹角＝300时的k值，及约束反力NA、ND。(c)(5分)试指出杆AB的平衡状态(稳定平衡/不稳定平衡/随遇平衡)，并加以简单解释。第一届泛珠三角物理奥林匹克高一组赛题解答4香港物理奥林匹克委员会委员、泛珠三角物理奥林匹克竞赛委员会秘书长吴肇祖博士1.(11分)(a)蠕虫B爬行前二虫质心位置的坐标:A(0,0),B(sin,cosll,则系统质量中心CMlmMlmsin,cosBB,其中M=mA+mB.3(b)蠕虫B爬过A后二虫质心位置的坐标:A(X,Y),Bsin,coslYlX,则系统质量中心CMlYmYmMlXmXmsin,cosBABA4系统在水平面上没有受到外力作用，质心在该面上的位置不会改变(质心守恒定律)。MlmMlmsin,cosBB＝MlYmYmMlXmXmsin,cosBABA1蠕虫B爬过A后二质心位置的坐标为sin2,cos2),(BBlMmlMmAYXA3sin,cossin,cosBABAlMmmlMmmBlYlXB2.(12分)(a)设碰撞后两球速度为u1,u2.5由动量守恒定律,uuumumumvmv2121)(2由能量守恒定律,(36%))()(221221221221動能損失ummuvmmv221221221221)()(%)361(ummuvmmv两球反弹的速度u=0.8v.3(b)一橡胶球以速率v撞向另一静止橡胶球，即碰撞前两球系统的质量中心以0.5v的速度移动，且碰撞后亦如此，因碰撞仅涉及两球间的内力，并无外力作用于系统上。2在质心相对参考系中，质心静止，两球则以v0.5v=0.5v,及00.5v=0.5v的速度迎头相撞，且在碰撞过程中损失了36%的动能。1由题(a),两球反弹的速度0.4v(在质心相对参考系中)。1那幺，两球各自速度＝0.5v0.4v＝0.9v及0.1v.1系统碰撞前的动能＝221mv,碰撞后的动能＝%)181(82.0)1.0()9.0(221221221mvvmvm×系统碰撞前的动能,在碰撞过程中损失了18%的动能.23.(14分)(a)整个系统的角动量矩)2()1.010()2(222221rRmrmmRmL26(b)石子的相对轴向速度和相对切向速度为cosvvr,rvvsin.一个石子带走的角动量矩rrvmL)sin)(1.0(,and122221)9.1()2(rRmrRmLLL当他扔了一石子后圆台的角速度sin9.11.0221rRrv.5因此,使角速度减少最多的夹角max＝900则22min19.11.0rRrv.1(c)当他以max投掷第2个石子时角动量矩的变化rrvmL))(1.0(1和1222221)8.1()9.1(rRmrRmLLL2于是2222222222128.119.111.08.11.09.11.08.11.0rRrRrvrRrvrRrvrRrv2当他扔光10个石子后圆台的角速度1012210)1.02(11.0nrnRrv.274.(19分)(a)TMgRfANaAfT6分NmgTfaCxaCy5分(b)由牛顿运动定律得到物体A:AAMafNT,(1)10fTMgR;(2)1物体C:CxmaN,(3)1CymafTmg,(4)1NfRfCAA,其中(5)1由于细线不可伸长,aA＝aCx＝aCy＝a.(6)1由(1)至(6),解得:gMmMmaCAAA)2()1(.25.(18分)(a)取摆球绕过钉子作圆周运动的最高点(钉子的正上方C)为重力势能零点，则小球从B摆动到C的过程中机械能守恒，有.21212CmvRLmg;(1)28向心力cos2mgTRvm,当张力T=0时摆球就可绕过C点，此时2mgmgRvmC012180cos,(2)1由(1)和(2)解得LR521,LRLx53112(b)取点D为重力势能零点，则小球从B摆动到D的过程中机械能守恒，有22221cosDmvRRLmg;(1)向心力0,cos22TmgTRvmD其中(2)5小球由D点作斜上拋运动击中O2,所用时间为t,则有2221sincosgttvRD,(3)2tvRDcossin2(4)1由(1),(2),(3)和(4),解得LR322,LRLx32122.36.(26分)(a)(i)取AB杆为研究对象。由于AB杆受NA(指向圆心O),1ND(垂直于AB杆)1及P三力而平衡，根据三力平衡汇交定理，此三力作用线应交于圆上一点E。19在此平衡位置上画出AB杆的受力图:3PBAODCNDNAGEF(i)可通过几何关系求出角(＝ODA＝OAD＝DEF),AEG＝9002.DF=DEsin=(AEsin)sin=2rsin2=2r2rcos2,1DF=DGcos=(DAGA)cos=(2rcosl)cos=2rcos2lcos,14rcos2lcos2r=0,1xxrl242,wherex＝cos.(1)∴rrll832cos22,or832cos2kk,wherek＝rl.(2)1Fx=0,0sin)290sin(0DANN,1Fy=0,0cos)290cos(0PNNDA1∴tanPNA,(3)1cos2cosPND(4)1(b)(i)由题(a)中的(2),(3)和(4)式，夹角＝及约束反力NA＝0、ND＝P.3101(ii)由题(a)中的(1),(3)和(4)式，比值k＝1.155,及约束反力NA＝ND＝0.577P.3x＝cosk＝l/r(1)NA/P(3)ND/P(4)k＝l/rx＝cos(2)0012012100500.9961951.9771390.0874890.988571.80.96704114.7501000.9848081.9083780.1763270.9541891.60.93484720.8001500.9659261.7931510.2679490.8965751.40.9034425.3902000.9396931.6304150.363970.8152071.20.87284229.2102500.9063081.4184750.4663080.70923810.8430732.5303000.8660251.1547010.577350.577350.80.81414335.5003500.8191520.8350590.7002080.4175290.60.78607338.1804000.7660440.4533630.83910.2266820.40.75887240.6404500.7071070100.20.73254942.900(c)对于任何微小角位移，杆AB的位置如图所示。11PBAODCGENANDdlPBAODCGElNANDd设圆弧上点E为约束反力NA与ND作用线的交点，及d表示E点至重力P的距离，则ME＝Pd0,即力矩Pd,在两种情况下，都会使杆AB恢复到如虚线所示的平衡位置，此时重力P的作用线也汇交于E点。所以，杆AB处于稳定平衡状态。5