“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题一、选择题（每小题7分，共35分，每小题只有一个正确选项）1、设17a，则代数式12612323aaa的值为（）（A）24（B）25（C）1074（D）12742、对于任意实数a，b，c，d，定义有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“△”为：（a，b）△（c，d）=（ac+bd，ad+bc）。如果对于任意实数u，v，都有（u，v）△（x，y）=（u，v），那么（x，y）为（）（A）（0，1）（B）（1，0）（C）（-1，0）（D）（0，-1）3、若x1，y0，且满足xy=xy，yxyx3，则x+y的值为（）（A）1（B）2（C）29（D）2114、点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设S四边形EADF=S1，S△BDF=S2，S△BCF=S3，S△CEF=S4，则S1S3与S2S4的大小关系为（）（A）S1S3S2S4（B）S1S3=S2S4（C）S1S3S2S4（D）不能确定5、设3333991312111S，则4S的整数部分等于（）（A）4（B）5（C）6（D）7二、填空题（每小题7分，共35分）6、若关于x的方程（x-2）（x2-4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是___________。7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是_________。8、如图，点A，B为直线y=x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线xy1（x0）于C，D两点。若BD=2AC，则224ODOC的值为________。9、若211xxy的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为___________。10、如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为__________。三、解答题（每题20分，共80分）11、已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1，求a+b+c的值。12、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。13、如图，点A为y轴正半轴上一点，A，B两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线232xy于P，Q两点。（1）求证：∠ABP=∠ABQ（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60o，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式。14、如图，△ABC中，∠BAC=60o，AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=3，PB=5，PC=2，求△ABC的面积。