［初中数学竞赛讲座］不等式

竞赛讲座16-不等式不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题(特别是有关不等式的证明)在数学竞赛中显得尤为重要。证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。一、不等式证明的基本方法1.比较法比较法可分为差值比较法和商值比较法。(1)差值比较法原理A-B0AB.【例1】(l)m、n是奇偶性相同的自然数，求证：(am+bm)(an+bn)2(am+n+bm+n)。(2)证明：··≤。【例2】设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，j1,j2,…,jn是1,2,…,n的任意一个排列，令S=a1+a2+…+an，S0=a1bn+a2bn-1+…+anb1，S1=a1b1+a2b2+…+anbn。求证：S0≤S≤S1。(2)商值比较法原理若1，且B0，则AB。【例3】已知a,b,c0，求证：a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b。2.分析法【例4】若x,y0，求证：。【例5】若a,b,c是△ABC的三边长，求证：a4+b4+c42(a2b2+b2c2+c2a2)。3.综合法【例6】若a,b,c0，求证：abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。【例7】已知△ABC的外接圆半径R=1，S△ABC=，a,b,c是△ABC的三边长，令S=，t=。求证：tS。4.反证法【例8】已知a3+b3=2，求证：a+b≤2。5.数学归纳法【例9】证明对任意自然数n，。二、不等式证明的若干技巧无论用什么方法来证明不等式，都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口。1.变形技巧【例1】若n∈N，S=++···+，求证：nSN+1。p【例2】(1)若A、B、C∈[0，π]，求证：sinA+sinB+sinC≤3sin。(2)△ABC的三内角平分线分别交其外接圆于A‘,B’,C‘，求证：S△ABC≤S△A’B‘C’。2.引入参变量【例3】将一块尺寸为48×70的矩形铁皮剪去四角小正方形后折成一个无盖长方体铁盒，求铁盒的最大容积。【例4】在△ABC中，求证：a2+b2+c2≥4△+(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2。其中，a,b,c是△ABC的三边长，△=S△ABC。3.数形结合、构造【例5】证明：≤。4.递推【例6】已知：x1=，x2=，···，xn=。求证：。三、放缩法【例1】若n∈N，n≥2，求证：。【例2】α、β都是锐角，求证：≥9。【例3】已知：a1≥1，a1a2≥1，···，a1a2···an≥1，求证：。【例4】S=1+++···+，求S的整数部分[S]。【例5】设a0=5，an=an-1+，n=1,2,···。求证：45A100045.1。p