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竞赛讲座20-容斥原理在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集合A的元素个数(新教材中用表示有限集合A的元素个数)。原理一:给定两个集合A和B,要计算A∪B中元素的个数,可以分成两步进行:第一步:先求出∣A∣+∣B∣(或者说把A,B的一切元素都“包含”进来,加在一起);第二步:减去∣A∩B∣(即“排除”加了两次的元素)总结为公式:|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣。原理二:给定三个集合A,B,C。要计算A∪B∪C中元素的个数,可以分三步进行:第一步求|A|+|B|+|C|;第二步减去|A∩B|,|A∩C|,|B∩C|;第三步加上|A∩B∩C|。例1求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。例2某班统计考试成绩,数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人?例3某校组织棋类比赛,分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行。参加围棋比赛的共有42人,参加中国象棋比赛的共有51人,参加国际象棋比赛的共有30人。同时参加了围棋和中国象棋比赛的共有13人,同时参加了围棋和国际象棋比赛的7人,同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的11人,其中三种棋赛都参加的3人。问参加棋类比赛的共有多少人?例4边长分别为6,5,2的三个正方形,如图8—5所示放在桌面上。问它们盖住的面积是多大?例5求1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少?练习题1.某班共有48名学生,都参加了语文兴趣小组或数学兴趣小组,其中参加语文兴趣小组的有30人,参加数学兴趣小组的有28人,问同时参加语文、数学兴趣小组的人数是多少.2.纸片面积为7,一张边长为2的正方形纸片,把这两张纸片放在桌面上覆盖的面积为8,问两张纸片重合部分的面积是多少?3.不超过110且与110互质的自然数有几个?4.求在1至1000的自然数中,不能被5或7整除的数有多少个。5.某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试,有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀,其余每人至少有一个项目达到了优秀。这部分学生达到优秀的项目、人数如下表:求这个班的学生人数。6.求在不超过100的自然数中,不是5的倍数,也不是7的倍数有多少个?
本文标题:[初中数学竞赛讲座]容斥原理
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