［初中数学竞赛讲座］数学竞赛训练题二

数学竞赛训练题二一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1.已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|的最小整数n是()A.5B.6C.7D.82.设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式()A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.既有最大值又有最小值，两者不等D.是一个与面QPS无关的常数3.给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=()A.1B.-1C.2+D.-2+4.已知=(cosπ,sinπ),,，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积等于()A.1B.C.2D.5.过椭圆C：上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH(H为垂足)，延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为()A.B.C.D.6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，则△ABC()A.是等腰三角形，但不是直角三角形B.是直角三角形，但不是等腰三角形C.是等腰直角三角形D.不是等腰三角形，也不是直角三角形二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.8.如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}(2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a(3)a是a,b,c,d中的最小数那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.9.设n是正整数，集合M={1，2，…，2n}.求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于10.若对|x|≤1的一切x，t+1(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.11.我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为__________.12.对每一实数对(x,y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.三、解答题(每小题20分，共60分)13.已知a,b,c∈R+，且满足≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。14.已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。15.已知a0，函数f(x)=ax-bx2,(1)当b0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2;(2)当b1时，证明：对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2;(3)当0数学竞赛训练题三答案一、选择题1.由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为-的等比数列，∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)==6-6×(-)n，∴|Sn-n-6|=6×()n，得：3n-1250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。2.设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则VS-PQR=S△PQR·h=PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS,S△PQR·d=S△PRS·d+S△PRS·d+S△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即=常数。故选D。3.xn+1=，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+),∴xn+6=xn,x1=1，x2=2+,x3=-2-,x4=-1,x5=-2+,x6=2-,x7=1，……，∴有。故选A。4.设向量=(x,y)，则，即，即.∴或，∴S△AOB==1。5.设P(x1,y1)，Q(x,y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3,y)。又∵HQ=λPH，所以，所以由定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得Q点轨迹为，所以离心率e=。故选C。6.由logx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A=，而sinA0，∴sinA=。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。二、填空题7.。由对称性只考虑y≥0，因为x0，∴只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故△=16(u2-3)≥0。8.46个。abcd中恰有2个不同数字时，能组成C=6个不同的数。abcd中恰有3个不同数字时，能组成=16个不同数。abcd中恰有4个不同数字时，能组成A=24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。9.解考虑M的n+2元子集P={n-l，n，n+1，…，2n}.P中任何4个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2，所以k≥n+3.将M的元配为n对，Bi=(i，2n+1-i)，1≤i≤n.对M的任一n+3元子集A，必有三对同属于A(i1、i2、i3两两不同).又将M的元配为n-1对，Ci(i，2n-i)，1≤i≤n-1.对M的任一n+3元子集A，必有一对同属于A，这一对必与中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2n+1+2n=4n+1,最小的正整数k=n+310.。①若t2-40，即t-2或t2，则由x(|x|≤1)恒成立，得,t+1t2-4,t2-t-50解得，从而T-2或2T。②若t2-4=0，则t=2符合题意。③若t2-40，即-2t-t2+4;t2+t-30，解得：t或t，从而Tt。11.23.。12.1或-2。令x=y=0得f(0)=-1;令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1,y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y为正整数时，f(y+1)-f(y)0，由f(1)=1可知对一切正整数y，f(y)0，因此y∈N*时，f(y+1)=f(y)+y+2y+1，即对一切大于1的正整数t，恒有f(t)t，由①得f(-3)=-1,f(-4)=1。下面证明：当整数t≤-4时，f(t)0，因t≤-4，故-(t+2)0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)0，即f(-5)-f(-4)0，f(-6)-f(-5)0，……，f(t+1)-f(t+2)0，f(t)-f(t+1)0相加得：f(t)-f(-4)0，因为：t≤4，故f(t)t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。三、解答题13.解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2)2+(2+2)2=4ab+8ac+8bc+16c。所以≥。当a=b=2c0时等号成立。故k的最小值为100。14.以为x轴，点P到的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x,0)，点A(k,λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r,0),N(x+r,0),P(2,0),PQ==1+r。所以x=±,∴tan∠MAN=，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN=，所以m+rk=nhr，∴m+(1-nh)r=，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以，由(1)(2)式，得m=0,k=0，由(3)式，得n=。由2m=h2+k2-3得h=±，所以tan∠MAN==h=±。所以∠MAN=60°或120°(舍)(当Q(0,0),r=1时∠MAN=60°)，故∠MAN=60°。15.(1)证：依题设，对任意x∈R，都有f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-)2+，∴f()=≤1，∵a0,b0,∴a≤2。(2)证：(必要性)，对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1，∴a≥b-1。对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1f(x)≤1，因为b1，可推出f()≤1。即a·-≤1，∴a≤2，所以b-1≤a≤2。(充分性)：因b1,a≥b-1，对任意x∈[0,1]，可以推出：ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1，即：ax-bx2≥-1;因为b1，a≤2，对任意x∈[0,1]，可推出ax-bx2≤2-bx2≤1，即ax-bx2≤1，∴-1≤f(x)≤1。综上，当b1时，对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2。(3)解：因为a0,0f(x)=ax-bx2≥-b≥-1，即f(x)≥-1;f(x)≤1f(1)≤1a-b≤1，即a≤b+1;a≤b+1f(x)≤(b+1)x-bx2≤1，即f(x)≤1。所以，当a0,0