1995年全国初中数学联赛试题

1995年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题本题共有6个小题，每一个小题都给出了以（A）、（B）、（C）、（D）为代号的四个答案，其中只有一个答案是正确的，请将正确的答案用代号填在各小题的括号内。1．已知553a，444b，335c则有（）（A）cba；（B）abc；（C）bac；（D）bca2．方程组2363yzxzyzxy的正整数解的组数是（）（A）1；（B）2；（C）3；（D）43．如果方程0)2)(1(2mxxx的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m的取值范围是（）（A）10m；（B）43m；（C）143m；（D）143m4．如果边长顺次为25，39，52和60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（）（A）62π（B）63π（C）64π（D）65π5．AB是圆O的一条弦，CD是圆O的直径，且与弦AB相交，记OABDABCABSNSSM2.||，则（）（A）NM；（B）M=N；（C）NM（D）M，N的大小关系不确定6．设实数a，b满足不等式|||||)(|||baabaa（）（A）0a且0b（B）0a且0b（C）0a且0b（D）0a且0b二、填空题1．在12，22，33，…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有________个。2．已知α是方程0412xx的根，则234521的值等于________。3．设x为正实数，则涵数xxxy12的最小值是_________。4．以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，OC2=AC·BC，则∠CAB=________。第二试一、已知∠ACE=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A，C，D三点的圆交AB于F（如图）。求证：F为△CDE的内心。二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点。试在二次函数5910102xxy的图像上找出满足||xy的所有整点（x，y）二、试证：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于1且互质的自然数之和。1995年全国初中数学联赛试题答案第一试一、选择题1．（C）1111555243)3(3a，1111444256)3(4b，1111333125)5(5c，∴bac.2．（B）第二个方程可以改写为23)(zyx.因为x+y≥2,且23是质数，故z=1，x+y=23，由此得y=23-x，将此代入第一个方程得63)1)(23(xx，即040222xx.解之得21x,202x.因此，原方程组的两组解为：21x,211y,11z；202x,32y,12z.3．（C）因为022mxx有两根，故m44≥0，得m≤1.原方程的三根为11x，mx112，mx113.显然，x2≤x1≤x3.注意到221xx3111xmm，由此得43m.4．（D）设ABCD为圆内接四边形，且AB=25，BC=39，CD=52，DA=60.圆内接四边形对角互补，故AC180.连接BD，由余弦定理（如图），AADABADABBDcos2222CCDCBCDCBcos222即Acos60252602522Acos52392523922解得0)52396025(252396025cos2222A故BDA90为圆的直径.65602522BD.故圆周长为65.5．（B）如图，作ABDE于E，ABCF于F，延长CF交圆O于G，连接DG，因CD是直径，故DGC是直角，从而EFGD是矩形，GFDE.不妨设FGCF，作CGOH于G，ABOL于L，则H是CG的中点，于是OLHFFCHFCHFGCF22.因此DABCABSSM2)(22FGCFABDEABCFABOABSOLAB2.6．（B）若a,b满足题设的不等式.则有22)(baabaa，经化简整理得baabaa)(.由此知0a，0ba.从而aababa，上式仅当0a，0ba时成立，从而0ab二、填空题1．9在12,22,…102中，十位数字是奇数的只有1642，3662.两位数的平方可以表示为22220100)10(bababa，它的十位数的奇偶性与b2十位数字的奇偶性相同.因此，b只能取4与6.即相邻的每10个数中有两个数的十位数字是奇数.因此，题目给的95个数中，十位数字是奇数的共有19个.2．20)1)(1()1(123aaaaa,222345)1)(1(aaaaaaa.∵a满足等式0412aa，∴1a，01a.所以22223453)1(11aaaaaaaaa20)41(1412.3．11)1()1(11)1(222xxxxxxy.当x=1时，2)1(x与2)1(xx同时取最小值0，因此y的最小值为1.4．75°或15°如图，因AB是直径，故90ACB，ABBCCABsin.由BCACOC2得BCOCOCAC.在ABC中，由正弦定理得OCCABACAOCsinsin21ABOCABBCBCOC.∴30AOC或150.在等腰OAC中，752180AOCCAB或15.第二试一、证明∵BCAC，90ACB，∴45CBACAB.∵A,C,F,D四点共圆.∴45CAFCDF，∵90CDE，∴CDFCDEEDFCDF45，即DF平分CDE.∵CDCA，∴CDACAD，又CADCFD180CDA180CFA180CFB，45CBFCDF∴CDFCFDDCF180CBFCFB180BCF.即CF平分DCE.所以F是CDE的内心.二、由y≤|x|，得10182xx≤|x|，即182xx≤10|x|.当x≥0时，式为182xx≤10x，即18112xx≤0，解得2≤x≤9.对于上述区间内x的整数值，当x=2,4,7,9时，相应的y为整数值.此时，满足条件的点有(2,2),(4,3),(7,6),(9,9).当0x时，式为182xx≤-10x，即1892xx≤0，解得-6≤x≤-3.对于上述区间内x的整数值，当x=-6,-3时，相应的y为整数值.此时，满足条件的点有(-6,6)(-3,3).故满足条件的整点共有6个.三、证明对n分情况讨论.（1）当n为奇数时，设12kn(k1,k为整数）.若n=4k，此时n=k+(k+1)由于1)1,(kk，上述表示符合要求.（2）当n为偶数时，设kn4或24k(k1,k为整数).若kn4，此时)12()12(kkn.12k与12k是互质的，因为若它们有公因数d≥2，设ndk12,mdk12(m,n是自然数)，则2)(dnm，可见2d，所以2d，这与12k，12k均为奇数相矛盾.若24kn，此时)32()12(kkn.12k与32k是互质的.因为若它们有公因数d≥2，设ndk12,mdk32(m,n是自然数)，则2)(dnm，可见2d，所以2d，这与12k，12k均为奇数相矛盾.若24kn，此时)32()12(kkn.12k与32k是互质的.因为若它们有公因数d≥2，设ndk12,mdk32(m,n是自然数)，则4)(dnm，可见4d，即d=2或4.这与12k，32k均为奇数相矛盾.综上所述，原命题得证.1995年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1．讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c＝(53)11＝12511＜24311＝(35)11＝a＜25611＝(44)11＝b。选C。利用lg2＝0.3010，lg3＝0.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。2．讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z＝1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)．也可以不解方程组直接判断：因为x≠y(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照选择支，选B。3．讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x1＋x2＝2＞1。三根能作为一个三角形的三边，须且只须｜x1－x2｜＜1又有0≤4－4m＜1．4．讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2＝252＋602＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132＝392＋522＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．5．讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由是错误的．比如有的考生取AB为直径，则M＝N＝0，于是就选B．其实，这只能排除A、C，不能排除D．不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．6．讲解：取a＝-1、b＝2可否定A、C、D，选B．一般地，对已知不等式平方，有｜a｜(a＋b)＞a｜a＋b｜．显然｜a｜｜(a＋b)｜＞0（若等于0，则与上式矛盾），有两边都只能取1或-1，故只有1＞-1，即有a＜0且a＋b＞0，从而b＞-a＞0．选B．二、填空题1．讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力．经计算12，22，…，102，知十位数字为奇数的只有42＝16，62＝36．然后，对两位数10a＋b，有（10a＋b）2＝20a（5a＋b)＋b2．其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有b＝4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1，2，…，95中个位数出现了几次4或6，有2×9＋1＝19．2.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2＋a作为整体代入．这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活．比如，由①有由②－①，得由③－②并将④代入，得还可由①得⑥÷⑤即得所求．3．讲解：这个题目是将二次函数y＝x2－x与反比例函数因而x＝1时，y有最小值1．5．讲解：此题由笔者提供，原题是求sin∠CAB，让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75°、sin15°．6．解法如下：与AB2＝AB2＋AC2②联立，可推出而式①、③表明，AB、AC是二次方程改为求∠CAB之后，思路更宽一些．如，由第二试一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：在直角△ABC中，斜边BC上的高，过△ABD的内心与△ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，△ABC和△AKL的面积分别记为S和T．求证S≥2T．在这个题目的证明中，要用到AK＝AL＝AD．今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK＝AL＝AD(斜边上的高)，再求证KL通过△ABD、△ADC的内心（图7）．其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、FD、FE，然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线段相等．