2008年福建省高一数学竞赛试题

2008年福建省高一数学竞赛试题（考试时间：5月18日上午8：30—11：00）一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1、已知集合2{|||4},{|650}AxxaBxxx，若ABR，则实数的取值范围是（）（A）(,1)(5,)（B）(,1][5,)（C）（1，5）（D）[1，5]2、下列四个数中最大的一个数是（）（A）2(ln2)（B）ln(ln2)（C）ln(2)（D）ln23、把正方形ABCD沿对角线AC折起，当点D到平面ABC的距离最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°4、若不等式210xax对一切[2,3]x恒成立，则a的最小值为（）（A）–2（B）0（C）103（D）525、两条直角边长分别是整数a和b（其中b1000），斜边长是b+1的直角三角形有（）（A）20个（B）21个（C）22个（D）43个二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）6、若关于x的不等式2|23|2xaxa恰有唯一的解，则实数a的值是。7、已知函数2()log(1)afxxbx（0a且1a），给出下列四个命题：（1）当且仅当0b时，()fx为R上的偶函数；（2）当1,12ab时，()fx为R上的减函数；（3）当1a时，()fx为R上的增函数；（4）若()fx为R上的递增的奇函数，则01,1ab或1,1ab。其中正确命题的序号是。（把你认为正确命题的序号都填上）8、已知定义在(0,)上的函数()fx满足：对一切正数x均有(3)3()fxfx成立，且当13x时，()1|2|fxx，则(100)f。9、设点A、B、C是函数2yx图像上三个不同的点，满足AB与x轴平行，△ABC是面积为100的直角三角形，则点C的纵坐标为。10、一个棱长为a的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为。11、设x，y为非负整数，使得2xy是5的倍数，xy是3的倍数，且299xy，则75xy的最小值为。12、正整数1212aaa中，若任意三个都不能成为三角形的三边长，则121aa的最小值是。三、解答题（共5小题，每小题12分，满分60分）13、已知圆C是正方形DEFG的外接圆（D、E、F、G按逆时针方向排列），其中E（2，1）、F（1，2）。（1）求圆C的方程；（2）若直线l与圆C相切，且交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b）。①求证：(2)(2)2ab；②当2,2ab时，求△AOB面积的最小值。14、已知定义在R上的函数()fx同时满足下列三个条件：（1）当0x时，()0fx；（2）(1)2f；（3）对任意12,xxR都有1212()()()fxxfxfx。设集合22{(,)|(3)(4)24}Axyfxfy，{(,)|()()(3)0}Bxyfxfayf。若集合A与B的交集非空，求实数a的取值范围。15、如图，在△ABC中，P、Q分别是边AB、AC上的点，且使得∠APC=∠AQB。分别过点P、Q作AB、AC的垂线，两垂线交于E点，且PE、QE分别与BQ、CP交于S、R。（1）证明：AE⊥BC；（2）证明：SB//BC。16、已知二次函数2()fxaxbxc的图像过点（–1，–2），且对任意实数x，不等式26()33xfxx恒成立。（1）求()fx的解析式；（2）若0na，且224()(1,2,,)nanfnnn，求证：121111(411)2nnaaa。17、设{1,2,3,,}Sn（n为正整数），若S的任意含有100个元素的子集中必定有两个数的差能被25整除，求n的最大值。