2008年浙江省数学竞赛复赛试题

baEFPCADB2008年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题（2008年4月27日下午1：00—3：00）题号一二三总分1－67－1213141516得分评卷人复查人答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．2．解答书写时不要超过装订线．3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）1．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是()（A）7.5秒（B）6秒（C）5秒（D）4秒解：答案：【D】设高速列车和普通列车的车速分别为x米/秒和y米/秒，则100520(/)xyms，所以坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是：80÷20=4(秒)2．将一张边长分别为a，b)(ba的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕的长为()（A）22baba（B）22aabb（C）22baba（D）22aabb解：答案：【A】CPECBA222PECPCPbPEABabABBCBCa222bEFPEaba3．如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从A点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→……，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→……，并且都遵循如下规则：所爬行的第nn与第2条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（）（A）0（B）1（C）2（D）3解：答案：【C】黑甲壳虫爬行的路径为：111111111......AAADDCCCCBBAAAAD白甲壳虫爬行的路径为：111111111......ABBBBCCDDAAAABBB得分评卷人(第3题)ABCDA1B1C1D1k7k10k4k3k6k9黑、白甲壳虫每爬行6条边后又重复原来的路径，因2008=334×6+4，所以当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2008条棱分别停止时，黑甲壳虫停在点C，白甲壳虫停在点D1，因此12CD4．设m，n是正整数，满足m＋n＞mn，给出以下四个结论：①m，n都不等于1；②m，n都不等于2；③m，n都大于1；④m，n至少有一个等于1．其中正确的结论是（）（A）①（B）②（C）③（D）④解：答案：【D】由mnmn，得(1)(1)1mn，因m，n是正整数，所以(1)(1)0mn，即11mn或5．小明按如图所示设计树形图，设计规则如下：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120°的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段；重复前面的作法作到第10层．则树形图第10层的最高点到水平线的距离为（）（A）11024（B）17041024（C）17051024（D）2解：答案：【C】设第n层的最高点到水平线的距离记为：(1,2,,10)nan由题意，得224412132435411111;();();();();2222aaaaaaaaa66106576109111();();;();222aaaaaa把这10条式子左右相加，得2468101010111111170512[()()()()()]()2222221024a6．有10条不同的直线nnbxky（n=1，2，3，…，10），其中369kkk，47100bbb，则这10条直线的交点个数最多有（）（A）45个（B）40个（C）39个（D）31个解：答案：【B】如图，满足已知条件的6条直线至多有10个交点，增加一条直线与这6条直线最多有6个交点，再增加一条直线与前7条直线最多有7个交点，……一直增加到第10条直线与前9条直线最多有9个交点，所以这10条直线的交点个数最多有：10+6+7+8+9=40(个)二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）7．在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使13AEAB，14AFAD，连结EF交对角线AC于G，则ACAG的值是．得分评卷人水平线第一层第二层第三层第四层（第5题）转换器x，y，zzyx11，xzy11,yxz11输入输出（第10题）GMEFCADBPO1BOA解：答案：17如图，1//33AEAFABCDDMAEDMFD113367AGAEAEAEAGGCCMCDDMAEAEAC8．如图所示，一个半径为2的圆过一个半径为2的圆的圆心，则图中阴影部分的面积为．解：答案：2连结OO1，AB，则有OO1⊥AB于点P，在1RtAPORtAPO和中，222222222111112(2)(2)0APAOOPOAOPOPOPOP，即点O1在AB上与点P重合，易知AB是圆O1的直径，三角形ABO是直角三角形.所以222111=(2)(22)2242S阴影9．已知y=26xmx，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是．解：答案：33332x由260xmx，2222424122224mmmmxmm解得-当1≤m≤3时，22241241=322mm则-的最大值为-；221212333=2243243mm的最小值为所以，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，即260xmx恒成立时，x的取值范围是33332x.10．如图是一个数的转换器，每次输入3个不为零的数，经转换器转换后输出3个新数，规律如下：当输入数分别为x，y，z时，对应输出的新数依次为zyx11，xzy11，yxz11．例如，输入1，2，3，则输出56，34，23.那么当输出的新数为31，41，51时，输入的3个数依次为．（第8题）··解：答案：11111132，，2221112=333()1113=4()3(0)425()26111=5xyzkxkxyzxyxzxyzxykxyyzxyzyzkykkyzxyzxzxyzxzkzkzxy令2323111166,,11323232kxyzkkkkxyz11．10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列．解：答案：45记2n张卡片至多经过na次操作后，能将它们按从小到大顺序排列，则232431091;2;3;............9.aaaaaaa所以10123.....945a12．设整数a使得关于x的一元二次方程255261430xaxa的两个根都是整数，则a的值是．解：答案：18.由题意，得222255202860(552)156()aaakkN即22(552)156[(552)][(552)]782262kakaka因为[(552)][(552)]kaka和具有相同的奇偶性且[(552)][(552)]2kakak+0故(552)=78(552)=26(552)=2(552)=6(552)=2(552)=6(552)=78(552)=26kakakakakakakaka或或或解得，只有=40=18ka，符合题意。即所求a的值是18.三、解答题（共4小题，满分54分）QBCAPQACBP13．（本题满分12分）已知正三角形ABC，AB=a，点P，Q分别从A，C两点同时出发，以相同速度作直线运动，且点P沿射线AB方向运动，点Q沿射线BC方向运动.设AP的长为x，△PCQ的面积为S，（1）求S关于x的函数关系式；（2）当AP的长为多少时？△PCQ的面积和△ABC的面积相等.解：(1)如图，PCQPBQPBCSSSS221133()()sin60()sin60(0)22441133()()sin120()sin120()2244axaxaaxxaxxaaxxaaxaxaxxa(2)因为2213sin6024ABCSaa根据题意，若ABCPCQSS，则当0xa时，有22333444xaxa即220xaxa，解得，此方程无实根；当xa时，有22333444xaxa即220xaxa解得，12151522xaaxaa，(舍去)所以，当152APa时，△PCQ的面积和△ABC的面积相等。得分评卷人MNPFADBCEQ14．（本题满分12分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为线段AB上的点，且满足AE＝AD，BE=BC，过E作EF∥BC交CD于F，设P为线段CD上任意一点，试说明2PDPCPFADBCEF的理由．解：如图，过E作MN//CD，交直线DA，BC于点M，N，过点P作PQ//BC，交AB于点Q，则MD=EF=NC。由//AMAEEFADADADBCAEMBENBNBEBCEFBC2ADBCEFADBC由////PDAQADPQEFPFQE////PCQBPQEFBCPFQE因为2122ADBCPDPCEFPDBCPCADPDBCPCADADBCADBCPFADBCPFPFADBC而PDBCPCADAQQBAEQEBEQEBCADBCADPFQEQEQEQEADQEBCQEBCADADBCQEQE所以12PDPCEFADBCPF，即2PDPCPFADBCEF得分评卷人EFDBAC15．（本题满分14分）设二次函数2(0,1)yaxbxcac，当x=c时，y=0；当0＜x＜c时，0y．（1）请比较ac和1的大小，并说明理由；（2）当x＞0时，求证：021abcxxx．解：(1)当x=c时，y=0，即20,(1)0acbcccacb，又c1，所以10acb设一元二次方程20axbxc两个实根为1212,()xxxx由120cxxa，及x=c1，得1200xx，又因为当0＜x＜c时，0y，所以1xc，于是二次函数2yaxbxc的对称轴：2bxca即2bac所以12bacac即1ac(2)因为0＜x=1＜c时，0y，所以0abc由1ac及0,1ac得：01a因为22()(23)2()(223)221(1)(2)(1)(2)abcabcxabcxcabcxaaccxcxxxxxxxxx而0abc，01a，1c，223(1)(21)(1)0aaccacc所以当x＞0时，2()(232)20(1)(2)abcxaaccxcxxx，即021abcxxx得分评卷人16．（本题满分16分）有7个人进行某项目的循环比赛，每两个人恰好比赛一场，且没有平